Exercice 1

4 points - Commun à tous les candidats

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation $z^{2} - 6 z+13=0$.

   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O; \vec{u}, \vec{v}\right)$ d'unité graphique 1 cm.

   On considère les points A, B, C d'affixes respectives a=3-2i, b=3+2i, c=4i.

2. Faire une figure et placer les points A, B, C.

3. Montrer que OABC est un parallélogramme.

4. Déterminer l'affixe du point $\Omega$, centre du parallélogramme OABC.

5. Déterminer et tracer l'ensemble des points M du plan tels que $||\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=12$

6. Soit M un point de la droite (AB). On désigne par $\beta$ la partie imaginaire de l'affixe du point M.

   On note N l'image du point M par la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\frac{\pi }{2}$.

   1. Montrer que N a pour affixe $\frac{5}{2} - \beta +\frac{5}{2}i$.

   2. Comment choisir $\beta$ pour que N appartienne à la droite (BC) ?