Proposition 1 : « La courbe représentative de $> f$ admet au point d'abscisse 0, une tangente d'équation $y=2x$ ».

Réponse exacte : VRAI

$f\left(x\right)$ est de la forme $f\left(x\right)=Ce^{ - x}+2$

La condition $f\left(\ln2\right)=1$ donne $\frac{1}{2}C+2=1$ soit $C= - 2$

Donc $f\left(x\right)= - 2e^{ - x}+2$.

$f\left(0\right)= - 2+2=0$ et $f^{\prime}\left(0\right)= - f\left(0\right)+2=2$

L'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est donc

$y=2\left(x - 0\right)+0$

$y=2x$

Proposition 2 : « Si $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=0$ alors $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)g\left(x\right)=0$ ».

Réponse exacte : FAUX

On prend par exemple $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ et $g\left(x\right)=x$ sur $\left[1;+\infty \right[$

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=0$ mais $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)g\left(x\right)=1$

Proposition 3 : « A partir de la soixante-dixième minute, sa masse devient inférieure à 1 g ».

Réponse exacte : FAUX

Le coefficient multiplicateur correspondant à une diminution de 10% est $C=1 - \frac{10}{100}=0,9$

La masse à la soixante-dixième minute est :

$m=10 000\times 0,9^{70}\approx 6,3$

Proposition 4 : « Si A et B sont indépendants et si p(A)=p(B)=0,4 alors p(A$\cup$B)=0,8 ».

Réponse exacte : FAUX

Comme A et B sont indépendants p(A$\cap$B)=p(A)$\times$p(B)=0,16.

p(A$\cap$B=p(A)+p(B)-p(A$\cap$B)=0,64

Proposition 5 : « La probabilité que la pièce soit acceptée est égale à 0,9508 ».

Réponse exacte : VRAI

Notons :

A l'évènement : "la pièce est accepté";

D l'évènement : "la pièce est défectueuse".

Les données de l'énoncé permettent de tracer l'arbre suivant:

$p\left(A\right)=p\left(A \cap D\right)+p\left(A \cap \overline{D}\right)=p_{D}\left(A\right)\times p\left(D\right)+p_{\overline{D}}\left(A\right)\times p\left(\overline{D}\right)$

$p\left(A\right)=0,01\times 0,02+0,97\times 0,98=95,08$