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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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QCM - Bac ES/L Pondichéry 2013

Exercice 1   (4 points)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée.

  1. La fonction FF définie sur R\mathbb{R} par F(x)=e−x2F\left(x\right)=e^{ - x^{2}} est une primitive de la fonction définie par :

    A :  f(x)=−xe−x2f\left(x\right) = - xe^{ - x^{2}} B :   f(x)=−2xe−x2f\left(x\right) = - 2xe^{ - x^{2}}
    C :   f(x)=xe−x2f\left(x\right)=xe^{ - x^{2}} D :   f(x)=e−2xf\left(x\right)=e^{ - 2x}

  2. Soit la fonction hh définie sur R\mathbb{R} par h(x)=(7x−23)exh\left(x\right)=\left(7x - 23\right)e^{x}.

    L'équation h(x)=0h\left(x\right)=0

    A :   a pour solution 2,7182,718 B :   a une solution sur [0;+∞[\left[0 ; +\infty \right[
    C :   a deux solutions sur R\mathbb{R} D :   a une solution sur ]−∞;0]\left] - \infty ; 0\right]

  3. On pose I=∫013e3xdxI=\int_{0}^{1} 3e^{3x}dx.

    On peut affirmer que :

    A :   I=e3−1I=e^{3} - 1 B :   I=3e3−3I=3e^{3} - 3
    C :   I=19,1I=19,1 D :   I=1−e3I=1 - e^{3}.

  4. La fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=x3−9xg\left(x\right)=x^{3} - 9x est convexe sur l'intervalle :

    A :   ]−∞;+∞[\left] - \infty ; +\infty \right[ B :   [0;+∞[\left[0 ; +\infty \right[
    C :   ]−∞;0]\left] - \infty ; 0\right] D :   [−3;3]\left[ - 3 ; 3\right]

Corrigé

  1. Réponse exacte : B. f(x)=−2xe−x2f\left(x\right) = - 2xe^{ - x^{2}}

    Il suffit de dériver FF.

    FF est de la forme eue^{u} avec u(x)=−x2u\left(x\right)= - x^{2} donc:

    F′(x)=u′(x)eu(x)=−2xe−x2F^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)e^{u\left(x\right)}= - 2xe^{ - x^{2}}

  2. Réponse exacte : B.   a une solution sur [0;+∞[\left[0 ; +\infty \right[

    (7x−23)ex=0⇔7x−23=0\left(7x - 23\right)e^{x}=0 \Leftrightarrow 7x - 23=0 ou ex=0e^{x}=0

    L'équation ex=0e^{x}=0 n'a pas de solution (car ex>0e^{x} > 0 pour tout réel xx)

    L'équation proposée a donc une unique solution positive x=237x=\frac{23}{7}.

  3. Réponse exacte : A :   I=e3−1I=e^{3} - 1

    Une primitive de x↦3e3xx\mapsto 3e^{3x} (de la forme u′euu^{\prime}e^{u}) est x↦e3xx\mapsto e^{3x}.

    I=∫013e3xdx=[e3x]01=e3−e0=e3−1I=\int_{0}^{1} 3e^{3x}dx =\left[e^{3x}\right]_{0}^{1}=e^{3} - e^{0}=e^{3} - 1

  4. Réponse exacte : B.   [0;+∞[\left[0 ; +\infty \right[

    gg est deux fois dérivable. Elle est convexe lorsque g′′(x)⩾0g^{\prime\prime}\left(x\right)\geqslant 0

    g′(x)=3x2−9g^{\prime}\left(x\right)=3x^{2} - 9

    g′′(x)=6xg^{\prime\prime}\left(x\right)=6x

    g′′(x)⩾0⇔6x⩾0⇔x⩾0g^{\prime\prime}\left(x\right)\geqslant 0 \Leftrightarrow 6x\geqslant 0 \Leftrightarrow x\geqslant 0

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