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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonctions - Loi normale - Bac ES/L Pondichéry 2013

Exercice 4   (6 points)

Commun à tous les candidats

La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B.

PARTIE A

On désigne part la fonction définie sur l'intervalle [0;6]\left[0 ; 6\right] par

f(x)=1−(x+1)e−xf\left(x\right)=1 - \left(x+1\right)e^{ - x}

  1. Montrer que f′(x)=xe−xf^{\prime}\left(x\right)=xe^{ - x} où f′f^{\prime} désigne la fonction dérivée de la fonction ff.

  2. Démontrer que l'équation f(x)=0,5f\left(x\right)=0,5 admet une solution unique α\alpha sur l'intervalle [0 ; 6].

    Déterminer une valeur arrondie de α\alpha à 0,010,01.

  3. On admet que la fonction FF définie sur [0;6]\left[0 ; 6\right] par F(x)=x+(x+2)e−xF\left(x\right)=x+\left(x+2\right)e^{ - x} est une primitive de ff sur [0;6]\left[0 ; 6\right]. Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à 10−310^{ - 3} de I=∫06f(x)dxI=\int_{0}^{6} f\left(x\right)dx.

PARTIE B

Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques.

Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l'aide de la fonction ff définie dans la partie A pour xx compris entre 0 et 6.

xx représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit.

f(x)f\left(x\right) représente la production journalière de batteries en milliers.

  1. Exprimer en mois, puis en jours, le moment où la production atteindra 0,50,5 millier soit 500500 unités.

  2. Déterminer une valeur arrondie à 10−310^{ - 3} de la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six premiers mois.

PARTIE C

Il est prévu que l'autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km.

Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l'autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries suit une loi normale d'espérance μ=200\mu =200 et d'écart-type σ=40\sigma =40.

  1. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville ?

  2. La probabilité de pouvoir faire l'aller-retour jusqu'à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à 0,010,01 ? Justifier votre réponse.

Corrigé

PARTIE A

On désigne part la fonction définie sur l'intervalle [0;6]\left[0 ; 6\right] par

f(x)=1−(x+1)e−xf\left(x\right)=1 - \left(x+1\right)e^{ - x}

  1. ff est dérivable sur [0;6]\left[0;6\right] comme somme, produit et composée de fonctions dérivables.

    Pour dériver (x+1)e−x\left(x+1\right)e^{ - x} on emploie la formule (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime} avec u(x)=x+1u\left(x\right)=x+1 et v(x)=e−xv\left(x\right)=e^{ - x}.

    On a alors u′(x)=1u^{\prime}\left(x\right)=1 et v′(x)=−e−xv^{\prime}\left(x\right)= - e^{ - x}.

    Donc :

    f′(x)=0−[1×e−x+(x+1)×(−e−x)]=−(−xe−x)=xe−xf^{\prime}\left(x\right)=0 - \left[1\times e^{ - x}+\left(x+1\right)\times \left( - e^{ - x}\right)\right]= - \left( - xe^{ - x}\right)=xe^{ - x}

  2. Sur ]0;6]\left]0;6\right], xx est strictement positif ainsi que e−xe^{ - x} (une exponentielle est toujours positive...) donc f′(x)>0f^{\prime}\left(x\right) > 0 sur ]0;6]\left]0;6\right].

    La fonction ff est donc strictement croissante sur [0;6]\left[0;6\right].

    Par ailleurs : f(0)=1−1=0f\left(0\right)=1 - 1=0 et f(6)=1−7e−6≈0.96f\left(6\right)=1 - 7e^{ - 6} \approx 0.96

    ff est continue (car dérivable) et strictement croissante sur [0;6]\left[0;6\right]. 0,5 est compris entre f(0)=0f\left(0\right)=0 et f(6)≈0,98f\left(6\right)\approx 0,98. Donc l'équation f(x)=0,5f\left(x\right)=0,5 admet une et une seule solution α\alpha sur [0;6]\left[0;6\right].

    A la calculatrice on trouve α≈1,68\alpha \approx 1,68 à 0,010,01 près.

  3. I=∫06f(x)dx=[F(x)]06=F(6)−F(0)=6+8e−6−2=4+8e−6I=\int_{0}^{6} f\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right] _{0}^{6}=F\left(6\right) - F\left(0\right)=6+8e^{ - 6} - 2=4+8e^{ - 6}

    I≈4,02I\approx 4,02 à10−310^{ - 3} près.

PARTIE B

  1. Le moment (en mois) où la production atteindra 0,5 millier est la solution de l'équation f(x)=0,5f\left(x\right)=0,5.

    C'est donc le nombre α≈1,68\alpha \approx 1,68 trouvé dans la partie A.

    Pour convertir α\alpha en jours, il suffit de multiplier par 30, ce qui donne 50,4.

    La production dépassera 0,5 millier à partir du 51ème jour.

  2. La valeur moyenne de la production au cours des 6 premiers mois est donnée par :

    m=16−0∫06f(x)dx=16≈4,026≈0,67m=\frac{1}{6 - 0}\int_{0}^{6}f\left(x\right)dx=\frac{1}{6}\approx \frac{4,02}{6}\approx 0,67 à 10−310^{ - 3} près.

PARTIE C

  1. On ne peut pas atteindre cette ville si l'autonomie est inférieure à 160km. La probabilité cherchée est donc p(X<160)p\left(X < 160\right).

    A la calculatrice (loi normale - espérance 200 - écart-type 40 - min 0 - max 160) on trouve p(X<160)≈0,16p\left(X < 160\right)\approx 0,16 à 10−210^{ - 2} près. On peut aussi utiliser le fait que p(160<X<240)=p(μ−σ⩽X⩽μ+σ)≈0,68p\left(160 < X < 240\right)=p\left(\mu - \sigma \leqslant X\leqslant \mu +\sigma \right)\approx 0,68 (cf. cours). Donc l'évènement contraire a une probabilité :

    p(X<160∪X>240)≈0,32p\left(X < 160 \cup X > 240\right)\approx 0,32

    Par symétrie, p(X<160)=p(X>240)p\left(X < 160\right)=p\left(X > 240\right) donc : p(X<160)≈12×0,32=0,16p\left(X < 160\right)\approx \frac{1}{2}\times 0,32=0,16

  2. On peut effectuer l'aller-retour jusqu'à cette ville sans recharge des batteries si l'autonomie est supérieure à 320km. La probabilité cherchée est donc p(X⩾320)p\left(X\geqslant 320\right).

    A la calculatrice (loi normale - espérance 200 - écart-type 40 - min 320 - max 10^99) on trouve p(X⩾320)≈0,0013p\left(X\geqslant 320\right)\approx 0,0013 à 10−410^{ - 4} près.

    Cette probabilité est inférieure à 0,01.

    On peut aussi utiliser le fait que p(μ−3σ⩽X⩽μ+3σ)≈0,0095p\left(\mu - 3\sigma \leqslant X \leqslant \mu +3 \sigma \right)\approx 0,0095 (cf. cours) et un raisonnement analogue au 1.

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