Exercice 2   (4 points)

Commun à tous les candidats

Pour chacune des questions posées, une proposition est faite. Il est demandé de déterminer si cette proposition est vraie ou fausse, en justifiant.

Question 1

Un étudiant a travaillé durant l'été et dispose d'un capital de 2500 euros.

A partir du premier septembre 2013, il place son capital $c_{0}=2500$ sur un compte rapportant 0,2% d'intérêts composés par mois et il loue une chambre qui lui coûte $425$ euros par mois.

On note $c_{n}$ le capital disponible, exprimé en euros, au début de chaque mois. Par exemple le capital disponible au début du mois d'octobre vaudra :

$c_{1}=1,002 \times c_{0} - 425=2080$ euros.

L'année universitaire s'achève à la fin du mois de juillet 2014.

On admet que la suite des capitaux $\left(c_{n}\right)$ est décrite par les relations :

• $c_{0}=2500$

• Pour tout entier naturel $n, c_{n+ 1}=1,002 \times c_{n} - 425$

PROPOSITION : Sans apport supplémentaire l'étudiant sera à découvert à partir du début du mois de mars 2014.

Question 2

Sur $I=\left]0 ; +\infty \right[$, on définit la fonction $f$ par

$f\left(x\right)=2x+1 - \ln x.$

PROPOSITION : $f$ est une fonction convexe sur $I$.

Question 3

On définit sur l'intervalle $I=\left]0 ; +\infty \right[$,

On a effectué à l'aide d'un logiciel de calcul formel les séquences suivantes:

PROPOSITION : $F$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur $I$ par $f\left(x\right)=2\ln x$.

Question 4

$X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance $\mu =0$ et d'écart-type $\sigma =0,6$.

PROPOSITION : $P\left( - 0,6\leqslant X\leqslant 0,6\right) \approx 0,68$