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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonctions - Estimations - Bac ES/L Métropole 2013

Exercice 4   5 points

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L

Dans cet exercice on étudie l'évolution de la dépense des ménages français en programmes audiovisuels (redevance audiovisuelle, billets de cinémas, vidéos, ...).

On note DnD_{n} la dépense des ménages en programmes audiovisuels, exprimée en milliards d'euros, au cours de l'année 1995+n1995+n.

année 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
nn 0 1 2 3 4 5 6 7
DnD_{n} 4,95 5,15 5,25 5,4 5,7 6,3 6,55 6,9
année 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
nn 8 9 10 11 12 13 14 15
DnD_{n} 7,3 7,75 7,65 7,79 7,64 7,82 7,89 8,08
Soit ff la fonction définie, pour tout nombre réel xx, par

f(x)=0,0032x3+0,06x2+5.f\left(x\right) = - 0,0032x^{3}+0,06x^{2}+5.

Pour tout entier nn vérifiant 0n200\leqslant n\leqslant 20, on décide de modéliser la dépense des ménages français en programmes audiovisuels exprimée en milliards d'euros, au cours de l'année 1995+n1995+n par le nombre f(n)f\left(n\right).

  1. Calculer f(5)f\left(5\right).

  2. Déterminer le pourcentage pp, de l'erreur commise en remplaçant D5D_{5} par f(5)f\left(5\right).

    (Le pourcentage d'erreur est obtenu par le calcul :

    p=p=valeur réellevaleur estiméevaleur réelle\frac{\text{valeur réelle} - \text{valeur estimée}}{\text{valeur réelle}}

    et le résultat sera donné à 0,1% près.)

  3. En utilisant la fonction ff, quelle estimation de la dépense totale peut-on effectuer pour l'année 2013 ? (On arrondira le résultat au centième de milliard d'euros).

  4. On veut utiliser la fonction ff pour estimer la dépense moyenne des ménages entre le 1er janvier 1995 et le 1er janvier 2015.

    On calcule pour cela M=120020f(x)dxM=\frac{1}{20} \int_{0}^{20} f\left(x\right)dx.

    1. Déterminer une primitive FF de la fonction ff sur l'intervalle [0 ; 20].

    2. Calculer MM