Exercice 2 (5 points)

Candidats ES n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité « Mathématiques » et candidats L

Dans tout cet exercice les résultats seront arrondis au centième si nécessaire.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Victor a téléchargé un jeu sur son téléphone. Le but de ce jeu est d'affronter des obstacles à l'aide de personnages qui peuvent être de trois types : « Terre », « Air » ou « Feu ».

Au début de chaque partie, Victor obtient de façon aléatoire un personnage d'un des trois types et peut, en cours de partie, conserver ce personnage ou changer une seule fois de type de personnage.

Le jeu a été programmé de telle sorte que :

• la probabilité que la partie débute avec un personnage de type « Terre » est $0,3$ ;

• la probabilité que la partie débute avec un personnage de type « Air » est $0,5$ ;

• si la partie débute avec un personnage de type « Terre », la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,5$ ;

• si la partie débute avec un personnage de type « Air », la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,4$ ;

• si la partie débute avec un personnage de type « Feu », la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,9$.

On note les événements suivants :

• $T$ : la partie débute avec un personnage de type « Terre » ;

• $A$ : la partie débute avec un personnage de type « Air » ;

• $F$ : la partie débute avec un personnage de type « Feu » ;

• $C$ : Victor conserve le même personnage tout au long de la partie.

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous.

   

2. Calculer la probabilité que Victor obtienne et conserve un personnage de type « Air ».

3. Justifier que la probabilité que Victor conserve le personnage obtenu en début de partie est $0,53$.

4. On considère une partie au cours de laquelle Victor a conservé le personnage obtenu en début de partie.

   Quelle est la probabilité que ce soit un personnage de type « Air » ?

Partie B

On considère $10$ parties jouées par Victor, prises indépendamment les unes des autres. On rappelle que la probabilité que Victor obtienne un personnage de type « Terre » est $0,3$.

$Y$ désigne la variable aléatoire qui compte le nombre de personnages de type « Terre » obtenus au début de ses $10$ parties.

1. Justifier que cette situation peut être modélisée par une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer la probabilité que Victor ait obtenu exactement 3 personnages de type « Terre » au début de ses $10$ parties.

3. Calculer la probabilité que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type « Terre » au début de ses $10$parties.