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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonctions - Bac ES/L Antilles-Guyane 2018

Exercice 4 (6 points)

Commun à tous les candidats

courbe représentative de f

Courbe Cf\mathscr{C}_f

courbe représentative de la dérivée de f

Courbe Cf\mathscr{C}_{f^{\prime}}

courbe représentative de la dérivée seconde de f

Courbe Cf\mathscr{C}_{f^{\prime \prime}}

On donne ci-dessus la courbe Cf\mathscr{C}_f représentative dans un repère donné d'une fonction ff définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 5] ainsi que les courbes représentatives Cf\mathscr{C}_{f^{\prime}} et Cf\mathscr{C}_{f^{\prime \prime}} respectivement de la dérivée ff^{\prime} et de la dérivée seconde ff^{\prime \prime} de la fonction ff.

Partie A

Dans cette partie les réponses seront obtenues à l'aide de lectures graphiques.

  1. Donner un encadrement par deux entiers consécutifs du nombre réel pour lequel la fonction ff semble atteindre son maximum.

    1. Donner un intervalle défini par deux entiers sur lequel la fonction ff semble convexe.

    2. Expliquer pourquoi on peut conjecturer que la courbe Cf\mathscr{C}_f admet un point d'inflexion.

      Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de l'abscisse de ce point d'inflexion.

  2. Parmi les équations suivantes quelle est l'équation de la tangente à la courbe Cf\mathscr{C}_f au point d'abscisse 00 ?

    a.  y=xy=xb.   y=2x+1y = 2x+ 1
    c.   y=2xy= 2xd.   y=34xy= \dfrac{3}{4}x

  3. On note I=01f(x)dxI = \displaystyle\int_0^1 f^{\prime}(x)\:\text{d}xff^{\prime} est la fonction dérivée de ff.

    Comment s'interprète graphiquement ce nombre II ?

Partie B

La fonction ff représentée ci-dessus est définie sur l'intervalle [0 ; 5] par f(x)=(x2+2x)exf(x) = \left(x^2 + 2x\right)\text{e}^{ - x}.

    1. Montrer que la dérivée ff^{\prime} de ff est définie par f(x)=(x2+2)exf^{\prime}(x) = \left( - x^2 + 2\right)\text{e}^{ - x} pour tout réel xx de l'intervalle [0 ; 5].

    2. Déterminer les variations de ff sur [0 ; 5] et préciser l'abscisse de son maximum.

    3. Donner la valeur arrondie au millième du maximum de ff.

  1. Avec un outil de calcul on obtient, pour 01f(x)dx\displaystyle\int_0^1 f^{\prime}(x)\:\text{d}x et f(1)f(1), la même valeur approchée 1,10364.

    Ces deux valeurs sont-elles égales ?