Exercice 4 (6 points)

Commun à tous les candidats

Courbe $\mathscr{C}_f$

Courbe $\mathscr{C}_{f^{\prime}}$

Courbe $\mathscr{C}_{f^{\prime \prime}}$

On donne ci-dessus la courbe $\mathscr{C}_f$ représentative dans un repère donné d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 5] ainsi que les courbes représentatives $\mathscr{C}_{f^{\prime}}$ et $\mathscr{C}_{f^{\prime \prime}}$ respectivement de la dérivée $f^{\prime}$ et de la dérivée seconde $f^{\prime \prime}$ de la fonction $f$.

Partie A

Dans cette partie les réponses seront obtenues à l'aide de lectures graphiques.

1. Donner un encadrement par deux entiers consécutifs du nombre réel pour lequel la fonction $f$ semble atteindre son maximum.

2. 1. Donner un intervalle défini par deux entiers sur lequel la fonction $f$ semble convexe.

   2. Expliquer pourquoi on peut conjecturer que la courbe $\mathscr{C}_f$ admet un point d'inflexion.

      Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de l'abscisse de ce point d'inflexion.

3. Parmi les équations suivantes quelle est l'équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $0$ ?

   a.  $y=x$	b.   $y = 2x+ 1$
   c.   $y= 2x$	d.   $y= \dfrac{3}{4}x$

4. On note $I = \displaystyle\int_0^1 f^{\prime}(x)\:\text{d}x$ où $f^{\prime}$ est la fonction dérivée de $f$.

   Comment s'interprète graphiquement ce nombre $I$ ?

Partie B

La fonction $f$ représentée ci-dessus est définie sur l'intervalle [0 ; 5] par $f(x) = \left(x^2 + 2x\right)\text{e}^{ - x}$.

1. 1. Montrer que la dérivée $f^{\prime}$ de $f$ est définie par $f^{\prime}(x) = \left( - x^2 + 2\right)\text{e}^{ - x}$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 ; 5].

   2. Déterminer les variations de $f$ sur [0 ; 5] et préciser l'abscisse de son maximum.

   3. Donner la valeur arrondie au millième du maximum de $f$.

2. Avec un outil de calcul on obtient, pour $\displaystyle\int_0^1 f^{\prime}(x)\:\text{d}x$ et $f(1)$, la même valeur approchée 1,10364.

   Ces deux valeurs sont-elles égales ?