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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Matrice de transition - Bac ES Métropole 2008

Exercice 2 (5 points)

(Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)

Deux fabricants de parfum lancent simultanément leur nouveau produit qu'ils nomment respectivement Aurore et Boréale.

Afin de promouvoir celui-ci, chacun organise une campagne de publicité.

L'un d'eux contrôle l'efficacité de sa campagne par des sondages hebdomadaires.

Chaque semaine, il interroge les mêmes personnes qui toutes se prononcent en faveur de l'un de ces deux produits.

Au début de la campagne, 20 % des personnes interrogées préfèrent Aurore et les autres préfèrent Boréale.

Les arguments publicitaires font évoluer cette répartition : 10 % des personnes préférant Aurore et 15 % des personnes préférant Boréale changent d'avis d'une semaine sur l'autre.

La semaine du début de la campagne est notée semaine 0.

Pour tout entier naturel n, l'état probabiliste de la semaine n est défini par la matrice ligne Pn=(anbn)P_{n}=\begin{pmatrix}a_{n} & b_{n}\end{pmatrix} où ana_{n} désigne la probabilité qu'une personne interrogée au hasard préfère Aurore la semaine n et bnb_{n} la probabilité que cette personne préfère Boréale la semaine n.

  1. Déterminer la matrice ligne P0P_{0} de l'état probabiliste initial.

  2. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B, A pour Aurore et B pour Boréale.

    1. Ecrire la matrice de transition MM de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

    2. Montrer que la matrice ligne PP, est égale à (0,30,7)\begin{pmatrix}0,3 & 0,7 \end{pmatrix}.

    1. Exprimer, pour tout entier naturel nn, PnP_{n} en fonction de P0P_{0} et de nn.

    2. En déduire la matrice ligne P3P_{3}. Interpréter ce résultat.

  5. Dans la question suivante, toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.

    Soit P=(ab)P=\begin{pmatrix}a & b \end{pmatrix} la matrice ligne de l'état probabiliste stable.

    1. Déterminer aa et bb.

    2. Le parfum Aurore finira-t-îl par être préféré au parfum Boréale ? Justifier.

Corrigé

  1. Au début de la campagne 20% des personnes interrogées préfèrent Aurore donc 80% préfèrent Boréale.

    La matrice de l'état initial est donc:

    P0=(0,20,8)P_{0}=\begin{pmatrix}0,2 & 0,8\end{pmatrix}

  2. En reprenant les données de l'énoncé :

    graphe probabiliste

    1. Le graphe précédent correspond à la matrice de transition suivante :

      M=(0,90,10,150,85)M=\begin{pmatrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,15 & 0,85 \end{pmatrix}

    2. P1=P0×M=(0,20,8)×(0,90,10,150,85)=(0,30,7)P_{1}=P_{0}\times M=\begin{pmatrix}0,2 & 0,8\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,15 & 0,85 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,3 & 0,7\end{pmatrix}

    1. Pm=P0×MnP_{m}=P_{0}\times M^{n}

    2. Pour n=3 :

      P3=P0×M3P_{3}=P_{0}\times M^{3}

      on calcule (à la calculatrice) :

      M3=(0,768750,231250,3468750,653125)M^{3}=\begin{pmatrix} 0,76875 & 0,23125 \\ 0,346875 & 0,653125 \end{pmatrix}

      et

      P3=(0,20,8)×(0,768750,231250,3468750,653125)=(0,431250,56875)P_{3}=\begin{pmatrix}0,2 & 0,8\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0,76875 & 0,23125 \\ 0,346875 & 0,653125 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,43125 & 0,56875\end{pmatrix}

      Cela signifie qu'après 3 semaines 43,125% des personnes interrogées préféreront Aurore et 56,875% préféreront Boréale.

    1. La matrice P=(ab)P=\begin{pmatrix}a & b \end{pmatrix} de l'état stable est caractérisé par :

      P=PMP=PM avec a+b=1a+b=1

      c'est à dire

      (ab)=(ab)×(0,90,10,150,85)\begin{pmatrix}a & b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,15 & 0,85 \end{pmatrix}

      et a+b=1a+b=1

      On obtient le système :

      {a+b=10,9a+0,15b=a0,1a+0,85b=b\left\{ \begin{matrix} a+b=1 \\ 0,9a+0,15b=a \\ 0,1a+0,85b=b \end{matrix}\right.

      Ce système est équivalent à :

      {b=1−a0,9a+0,15(1−a)=a0,1a+0,85(1−a)=1−a\left\{ \begin{matrix} b=1 - a \\ 0,9a+0,15\left(1 - a\right)=a \\ 0,1a+0,85\left(1 - a\right) =1 - a\end{matrix}\right.

      {b=1−a0,25a=0,15\left\{ \begin{matrix} b=1 - a \\ 0,25a=0,15 \end{matrix}\right.

      {a=0,6b=0,4\left\{ \begin{matrix} a=0,6 \\ b=0,4 \end{matrix}\right.

    2. D'après la question précédente dans l'état stable 60% des personnes interrogées préfèrent Aurore (contre 40% qui préfèrent Boréal).

      Au fil du temps on se rapproche de l'état stable donc le parfum Aurore finira par être préféré au parfum Boréal.

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