Exercice corrigéExercice 2 (5 points)
(Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)
Le parc informatique d'un lycée est composé de 200 ordinateurs dont :
- 30 sont considérés comme neufs ;
- 90 sont considérés comme récents ;
- les autres sont considérés comme anciens.
Une étude statistique indique que :
- 5 % des ordinateurs neufs sont défaillants ;
- 10 % des ordinateurs récents sont défaillants ;
- 20 % des ordinateurs anciens sont défaillants.
On choisit au hasard un ordinateur de ce parc.
On note les événements suivants :
- N : « L'ordinateur est neuf » ;
- R : « L'ordinateur est récent » ;
- A : « L'ordinateur est ancien » ;
- D : « L'ordinateur est défaillant » ;
- \overline{D} : l'événement contraire de D.
- Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
- Calculer la probabilité que l'ordinateur choisi soit neuf et défaillant.
- Démontrer que la probabilité que l'ordinateur choisi soit défaillant est égale à 0,1325.
- Déterminer la probabilité que l'ordinateur soit ancien sachant qu'il est défaillant. Donner le résultat sous forme décimale arrondie au centième.
- Pour équiper le centre de ressources de l'établissement, on choisit au hasard 3 ordinateurs dans le parc. On admet que le parc est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ces choix à des tirages successifs indépendants avec remise.
Déterminer la probabilité qu'exactement un des ordinateurs choisis soit défaillant. Donner le résultat sous forme décimale arrondie au centième.
Corrigé
-
Pour trouver p\left(N\right), par exemple, on fait :
p\left(N\right)=\frac{30}{200}=0,15
(On peut, si l'on préfère, donner les probabilités sous forme de pourcentage ou de fraction) - La probabilité demandée est :
p\left(N \cap D\right)=p\left(N\right)\times p_{N}\left(D\right)=0,05\times 0,15=0,0075
où p_{N}\left(D\right) désigne la probabilité de D sachant N - N, R et A forment une partition de l'univers donc :
p\left(D\right)=p\left(D \cap N\right)+p\left(D \cap R\right)+p\left(D \cap A\right)
p\left(D\right)=p\left(N\right)\times p_{N}\left(D\right)+p\left(R\right)\times p_{R}\left(D\right)+p\left(A\right)\times p_{A}\left(D\right)
p\left(D\right)=0,15\times 0,05+0,45\times 0,1+ 0,4\times 0,2=0,1325 - La probabilité cherchée est :
p_{D}\left(A\right)=\frac{p\left(A \cap D\right)}{p\left(D\right)}=\frac{p_{A}\left(D\right)\times p\left(A\right)}{p\left(D\right)}
p_{D}\left(A\right)=\frac{0,2\times 0,4}{0,1325}\approx 0,60 - On répète une épreuve de Bernouilli 3 fois de manière indépendante. Si on note X la variable aléatoire comptabilisant le nombre d'ordinateurs défaillants, X suit une loi binomiale de paramètres p=0,1325 et n=3.
La probabilité cherchée est donc :
p\left(X=1\right)=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\times p\times \left(1-p\right)^{2}=3\times 0,1325\times 0,8675^{2}\approx 0,30