Exercice corrigéExercice 3
10 points - Commun à tous les candidats
Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Partie A. Lectures graphiques
La courbe C ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction f définie et dérivable sur \left]0 ; +\infty \right[.
On note f^{\prime} la fonction dérivée de f
La courbe C passe par les points A\left(e ; 0\right) et B\left(1 ; -1\right).
La courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 1 et la tangente au point d'abscisse e passe par le point D\left(0 ; -e\right).
- Déterminer une équation de la droite (AD).
Aucune justification n'est exigée pour les réponses à la question 2.
- Déterminer f\left(1\right) et f^{\prime}\left(1\right).
- Dresser le tableau de signes de f sur \left]0 ; 5\right].
- Dresser le tableau de signes de f^{\prime} sur \left]0 ; 5\right].
- Soit F une primitive de f sur \left]0 ; +\infty \right[. Déterminer les variations de F sur \left]0 ; 5\right].
- Encadrer par deux entiers consécutifs l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe C et les droites d'équation x=4 et x=5.
Partie B. Étude de la fonction
La courbe C de la partie A est la représentation graphique de la fonction f définie sur \left]0 ; +\infty \right[ par f\left(x\right)=x \left(\ln x -1\right).
- Déterminer la limite de f en +\infty .
- Soit h la fonction définie sur \left]0 ; +\infty \right[ par h\left(x\right)=x\ln x. On rappelle que \lim\limits_{x\rightarrow 0}h\left(x\right)=0.
Déterminer la limite de f en 0
.
- Montrer que, pour tout x de \left]0 ; +\infty \right[, on a : f^{\prime}\left(x\right)=\ln x.
- Étudier le signe de f^{\prime}\left(x\right) sur \left]0 ; +\infty \right[ et en déduire le tableau de variation de f sur \left]0 ; +\infty \right[.
- Démontrer que la fonction H définie sur \left]0 ; +\infty \right[ par H\left(x\right)=\frac{1}{2}x^{2} \ln x-\frac{1}{4} x^{2} est une primitive sur \left]0 ; +\infty \right[ de la fonction h définie à la question 1.b).
- En déduire une primitive F de f et calculer \int_{1}^{e}f\left(x\right)dx.
- En déduire l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par C, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=e. On arrondira le résultat au dixième.
Corrigé
Partie A.
- Le coefficient directeur de la droite \left(AD\right) est :
a=\frac{y_{D}-y_{A}}{x_{D}-x_{A}}=\frac{-e-0}{0-e}=1
L'équation réduite de la droite \left(AD\right) est donc de la forme y=x+b
Les coordonnées de D vérifient cette équation donc :
-e=0+b
L'équation réduite de la droite \left(AD\right) est donc :
y=x-e - Par lectures graphiques:
- f\left(1\right)=-1
f^{\prime}\left(1\right)=0 (tangente parallèle à l'axe des abscisses) - La courbe C est au-dessous de l'axe des abscisses sur \left]0; e\right[ et au dessus sur \left]e; 5\right] donc :
- f est décroissante sur \left]0; 1\right] et croissante sur \left[1;5\right] donc :
- F est une primitive de f donc F^{\prime}=f. D'après la question 1.b., on obtient le tableau de variations suivant: :
- L'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe C et les droites d'équation x=4 et x=5 est comprise entre 2 et 3 (il suffit de compter les carreaux!).
- f\left(1\right)=-1
Partie B.
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\ln x-1=+\infty
donc en effectuant le produit des limites :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=+\infty - f\left(x\right)=x\left(\ln x-1\right)=x\ln x-x=h\left(x\right)-x
\lim\limits_{x\rightarrow 0}h\left(x\right)=0
\lim\limits_{x\rightarrow 0}x=0
donc en effectuant la différence des limites :
\lim\limits_{x\rightarrow 0}f\left(x\right)=0
.
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty
- Sur \left]0; +\infty \right[, f est de la forme uv avec u\left(x\right)=x et v\left(x\right)=\ln x-1 donc :
f^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)=1\times \left(\ln x-1\right)+x\times \frac{1}{x}=\ln x - La fonction logarithme népérien est strictement négative sur \left]0; 1\right[ et strictement positive sur \left]1; +\infty \right[.
f\left(1\right)=1\times \left(\ln1-1\right)=-1
Le tableau de variations de f sur \left]0 ; +\infty \right[ est donc :
- Sur \left]0; +\infty \right[, f est de la forme uv avec u\left(x\right)=x et v\left(x\right)=\ln x-1 donc :
- En employant la formule \left(uv\right)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime} pour dériver le premier terme on obtient :
H^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{2}\times \left(2x \ln x +x^{2}\times \frac{1}{x}\right)-\frac{1}{4}\times 2x=\frac{1}{2}\times \left(2x\ln x+x\right)-\frac{1}{2}x
H^{\prime}\left(x\right)=x\ln x+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x=x\ln x=h\left(x\right)
Donc H est une primitive de h sur \left]0; +\infty \right[ - Comme f\left(x\right)=h\left(x\right)-x, une primitive F de f est définie par :
F\left(x\right)=H\left(x\right)-\frac{1}{2}x^{2}=\frac{1}{2}x^{2} \ln x-\frac{1}{4} x^{2}-\frac{1}{2}x^{2}=\frac{1}{2}x^{2} \ln x-\frac{3}{4} x^{2}
Donc :
\int_{1}^{e}f\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right]_{1}^{e}=F\left(e\right)-F\left(1\right)=\frac{1}{2}e^{2}\left(\ln e-\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(\ln 1-\frac{3}{2}\right)
\int_{1}^{e}f\left(x\right)dx=\frac{1}{2}e^{2}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{-e^{2}+3}{4} - Sur \left[1; e\right] la fonction f est strictement négative donc l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par C, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=e est :
A=-\int_{1}^{e}f\left(x\right)dx=\frac{e^{2}-3}{4}
La valeur arrondie de A au dixième près est 1,1 unités d'aire.
- En employant la formule \left(uv\right)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime} pour dériver le premier terme on obtient :