Lecture graphique Etude de fonction - Bac ES Pondichéry 2009

Corrigé

Partie A.

1. Le coefficient directeur de la droite \left(AD\right) est :
   a=\frac{y_{D}-y_{A}}{x_{D}-x_{A}}=\frac{-e-0}{0-e}=1
   L'équation réduite de la droite \left(AD\right) est donc de la forme y=x+b
   Les coordonnées de D vérifient cette équation donc :
   -e=0+b
   L'équation réduite de la droite \left(AD\right) est donc :
   y=x-e
2. Par lectures graphiques:
   1. f\left(1\right)=-1
      f^{\prime}\left(1\right)=0 (tangente parallèle à l'axe des abscisses)
   2. La courbe C est au-dessous de l'axe des abscisses sur \left]0; e\right[ et au dessus sur \left]e; 5\right] donc :
      
   3. f est décroissante sur \left]0; 1\right] et croissante sur \left[1;5\right] donc :
      
   4. F est une primitive de f donc F^{\prime}=f. D'après la question 1.b., on obtient le tableau de variations suivant: :
      
   5. L'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe C et les droites d'équation x=4 et x=5 est comprise entre 2 et 3 (il suffit de compter les carreaux!).

Partie B.

1. 1. \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty
      \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\ln x-1=+\infty
      donc en effectuant le produit des limites :
      \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=+\infty
   2. f\left(x\right)=x\left(\ln x-1\right)=x\ln x-x=h\left(x\right)-x
      \lim\limits_{x\rightarrow 0}h\left(x\right)=0
      \lim\limits_{x\rightarrow 0}x=0
      donc en effectuant la différence des limites :
      \lim\limits_{x\rightarrow 0}f\left(x\right)=0

   .

2. 1. Sur \left]0; +\infty \right[, f est de la forme uv avec u\left(x\right)=x et v\left(x\right)=\ln x-1 donc :
      f^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)=1\times \left(\ln x-1\right)+x\times \frac{1}{x}=\ln x
   2. La fonction logarithme népérien est strictement négative sur \left]0; 1\right[ et strictement positive sur \left]1; +\infty \right[.
      f\left(1\right)=1\times \left(\ln1-1\right)=-1
      Le tableau de variations de f sur \left]0 ; +\infty \right[ est donc :
      
3. 1. En employant la formule \left(uv\right)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime} pour dériver le premier terme on obtient :
      H^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{2}\times \left(2x \ln x +x^{2}\times \frac{1}{x}\right)-\frac{1}{4}\times 2x=\frac{1}{2}\times \left(2x\ln x+x\right)-\frac{1}{2}x
      H^{\prime}\left(x\right)=x\ln x+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x=x\ln x=h\left(x\right)
      Donc H est une primitive de h sur \left]0; +\infty \right[
   2. Comme f\left(x\right)=h\left(x\right)-x, une primitive F de f est définie par :
      F\left(x\right)=H\left(x\right)-\frac{1}{2}x^{2}=\frac{1}{2}x^{2} \ln x-\frac{1}{4} x^{2}-\frac{1}{2}x^{2}=\frac{1}{2}x^{2} \ln x-\frac{3}{4} x^{2}
      Donc :
      \int_{1}^{e}f\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right]_{1}^{e}=F\left(e\right)-F\left(1\right)=\frac{1}{2}e^{2}\left(\ln e-\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(\ln 1-\frac{3}{2}\right)
      \int_{1}^{e}f\left(x\right)dx=\frac{1}{2}e^{2}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{-e^{2}+3}{4}
   3. Sur \left[1; e\right] la fonction f est strictement négative donc l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par C, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=e est :
      A=-\int_{1}^{e}f\left(x\right)dx=\frac{e^{2}-3}{4}
      La valeur arrondie de A au dixième près est 1,1 unités d'aire.