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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Lecture graphique Etude de fonction - Bac ES Pondichéry 2009

Exercice 3

10 points - Commun à tous les candidats Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Partie A.   Lectures graphiques

La courbe CC ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction ff définie et dérivable sur ]0;+∞[\left]0 ; +\infty \right[.

On note f′f^{\prime} la fonction dérivée de ff

La courbe CC passe par les points A(e;0)A\left(e ; 0\right) et B(1;−1)B\left(1 ; - 1\right).

La courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 1 et la tangente au point d'abscisse e passe par le point D(0;−e)D\left(0 ; - e\right).

Bac_ES_Pondichery_2009

  1. Déterminer une équation de la droite (AD). Aucune justification n'est exigée pour les réponses à la question 2.

  2. Par lectures graphiques:

    1. Déterminer f(1)f\left(1\right) et f′(1)f^{\prime}\left(1\right).

    2. Dresser le tableau de signes de ff sur ]0;5]\left]0 ; 5\right].

    3. Dresser le tableau de signes de f′f^{\prime} sur ]0;5]\left]0 ; 5\right].

    4. Soit FF une primitive de ff sur ]0;+∞[\left]0 ; +\infty \right[. Déterminer les variations de FF sur ]0;5]\left]0 ; 5\right].

    5. Encadrer par deux entiers consécutifs l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe CC et les droites d'équation x=4x=4 et x=5x=5.

Partie B.   Étude de la fonction

La courbe CC de la partie A est la représentation graphique de la fonction ff définie sur ]0;+∞[\left]0 ; +\infty \right[ par f(x)=x(lnx−1)f\left(x\right)=x \left(\ln x - 1\right).

    1. Déterminer la limite de ff en +∞+\infty .

    2. Soit hh la fonction définie sur ]0;+∞[\left]0 ; +\infty \right[ par h(x)=xlnxh\left(x\right)=x\ln x. On rappelle que limx→0h(x)=0\lim\limits_{x\rightarrow 0}h\left(x\right)=0.

      Déterminer la limite de ff en 0.

    1. Montrer que, pour tout xx de ]0;+∞[\left]0 ; +\infty \right[, on a : f′(x)=lnxf^{\prime}\left(x\right)=\ln x.

    2. Étudier le signe de f′(x)f^{\prime}\left(x\right) sur ]0;+∞[\left]0 ; +\infty \right[ et en déduire le tableau de variation de ff sur ]0;+∞[\left]0 ; +\infty \right[.

    1. Démontrer que la fonction HH définie sur ]0;+∞[\left]0 ; +\infty \right[ par H(x)=12x2lnx−14x2H\left(x\right)=\frac{1}{2}x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} est une primitive sur ]0;+∞[\left]0 ; +\infty \right[ de la fonction hh définie à la question 1.b).

    2. En déduire une primitive FF de ff et calculer ∫1ef(x)dx\int_{1}^{e}f\left(x\right)dx.

    3. En déduire l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par CC, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1x=1 et x=ex=e. On arrondira le résultat au dixième.

Corrigé

Partie A.

  1. Le coefficient directeur de la droite (AD)\left(AD\right) est :

    a=yD−yAxD−xA=−e−00−e=1a=\frac{y_{D} - y_{A}}{x_{D} - x_{A}}=\frac{ - e - 0}{0 - e}=1

    L'équation réduite de la droite (AD)\left(AD\right) est donc de la forme y=x+by=x+b

    Les coordonnées de DD vérifient cette équation donc :

    −e=0+b - e=0+b

    L'équation réduite de la droite (AD)\left(AD\right) est donc :

    y=x−ey=x - e

  2. Par lectures graphiques:

    1. f(1)=−1f\left(1\right)= - 1

      f′(1)=0f^{\prime}\left(1\right)=0 (tangente parallèle à l'axe des abscisses)

    2. La courbe CC est au-dessous de l'axe des abscisses sur ]0;e[\left]0; e\right[ et au dessus sur ]e;5]\left]e; 5\right] donc :

      Exercice

    3. ff est décroissante sur ]0;1]\left]0; 1\right] et croissante sur [1;5]\left[1;5\right] donc :

      Exercice

    4. FF est une primitive de ff donc F′=fF^{\prime}=f. D'après la question 1.b., on obtient le tableau de variations suivant: :

      Exercice

    5. L'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe CC et les droites d'équation x=4x=4 et x=5x=5 est comprise entre 2 et 3 (il suffit de compter les carreaux!).

Partie B.

    1. limx→+∞x=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty

      limx→+∞lnx−1=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\ln x - 1=+\infty

      donc en effectuant le produit des limites :

      limx→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=+\infty

    2. f(x)=x(lnx−1)=xlnx−x=h(x)−xf\left(x\right)=x\left(\ln x - 1\right)=x\ln x - x=h\left(x\right) - x

      limx→0h(x)=0\lim\limits_{x\rightarrow 0}h\left(x\right)=0

      limx→0x=0\lim\limits_{x\rightarrow 0}x=0

      donc en effectuant la différence des limites :

      limx→0f(x)=0\lim\limits_{x\rightarrow 0}f\left(x\right)=0 .

    1. Sur ]0;+∞[\left]0; +\infty \right[, ff est de la forme uvuv avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=lnx−1v\left(x\right)=\ln x - 1 donc :

      f′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)=1×(lnx−1)+x×1x=lnxf^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)=1\times \left(\ln x - 1\right)+x\times \frac{1}{x}=\ln x

    2. La fonction logarithme népérien est strictement négative sur ]0;1[\left]0; 1\right[ et strictement positive sur ]1;+∞[\left]1; +\infty \right[.

      f(1)=1×(ln1−1)=−1f\left(1\right)=1\times \left(\ln1 - 1\right)= - 1

      Le tableau de variations de ff sur ]0;+∞[\left]0 ; +\infty \right[ est donc :

      Exercice

    1. En employant la formule (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime} pour dériver le premier terme on obtient :

      H′(x)=12×(2xlnx+x2×1x)−14×2x=12×(2xlnx+x)−12xH^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{2}\times \left(2x \ln x +x^{2}\times \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{4}\times 2x=\frac{1}{2}\times \left(2x\ln x+x\right) - \frac{1}{2}x

      H′(x)=xlnx+12x−12x=xlnx=h(x)H^{\prime}\left(x\right)=x\ln x+\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}x=x\ln x=h\left(x\right)

      Donc HH est une primitive de hh sur ]0;+∞[\left]0; +\infty \right[

    2. Comme f(x)=h(x)−xf\left(x\right)=h\left(x\right) - x, une primitive FF de ff est définie par :

      F(x)=H(x)−12x2=12x2lnx−14x2−12x2=12x2lnx−34x2F\left(x\right)=H\left(x\right) - \frac{1}{2}x^{2}=\frac{1}{2}x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2}x^{2}=\frac{1}{2}x^{2} \ln x - \frac{3}{4} x^{2}

      Donc :

      ∫1ef(x)dx=[F(x)]1e=F(e)−F(1)=12e2(lne−32)−12(ln1−32)\int_{1}^{e}f\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right]_{1}^{e}=F\left(e\right) - F\left(1\right)=\frac{1}{2}e^{2}\left(\ln e - \frac{3}{2}\right) - \frac{1}{2}\left(\ln 1 - \frac{3}{2}\right)

      ∫1ef(x)dx=12e2(−12)−12(−32)=−e2+34\int_{1}^{e}f\left(x\right)dx=\frac{1}{2}e^{2}\left( - \frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2}\left( - \frac{3}{2}\right)=\frac{ - e^{2}+3}{4}

    3. Sur [1;e]\left[1; e\right] la fonction ff est strictement négative donc l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par CC, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1x=1 et x=ex=e est :

      A=−∫1ef(x)dx=e2−34A= - \int_{1}^{e}f\left(x\right)dx=\frac{e^{2} - 3}{4}

      La valeur arrondie de AA au dixième près est 1,1 unités d'aire.

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