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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonctions - Bac S Asie 2013

Exercice 2   6 points

Commun à tous les candidats

On considère les fonctions ff et gg définies pour tout réel xx par :

f(x)=exf\left(x\right)=e^{x} \quad et g(x)=1ex. \quad g\left(x\right)=1 - e^{ - x}.

Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement Cf\mathscr C_{f} et Cg\mathscr C_{g}, sont fournies ci-dessous.

Fonctions - Bac S  Asie 2013

Partie A

Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracer aux mieux ces tangentes sur la figure.

Partie B

Dans cette partie, on admet l'existence de ces tangentes communes.

On note D\mathscr D l'une d'entre elles. Cette droite est tangente à la courbe Cf\mathscr C_{f} au point A d'abscisse aa et tangente à la courbe Cg\mathscr C_{g} au point B d'abscisse bb.

    1. Exprimer en fonction de aa le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf\mathscr C_{f} au point A.

    2. Exprimer en fonction de bb le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cg\mathscr C_{g} au point B.

    3. En déduire que b=ab = - a

  1. Démontrer que le réel aa est solution de l'équation

    2(x1)ex+1=0.2\left( x - 1\right)e^{x}+1=0.

Partie C

On considère la fonction ϕ\phi définie sur R\mathbb{R} par

ϕ(x)=2(x1)ex+1.\phi \left(x\right)=2\left(x - 1\right)e^{x}+1.

    1. Calculer les limites de la fonction ϕ\phi en - \infty et ++ \infty .

    2. Calculer la dérivée de la fonction ϕ\phi , puis étudier son signe.

    3. Dresser le tableau de variation de la fonction ϕ\phi sur R\mathbb{R}. Préciser la valeur de ϕ(0)\phi \left(0\right)

    1. Démontrer que l'équation ϕ(x)=0\phi \left(x\right)=0 admet exactement deux solutions dans R\mathbb{R}.

    2. On note α\alpha la solution négative de l'équation ϕ(x)=0\phi \left(x\right)=0 et β\beta la solution positive de cette équation.

      À l'aide d'une calculatrice, donner les valeurs de α\alpha et β\beta arrondies au centième

Partie D

Dans cette partie, on démontre l'existence de ces tangentes communes, que l'on a admise dans la partie B.

On note E le point de la courbe Cf\mathscr C_{f} d'abscisse aa et F le point de la courbe Cg\mathscr C_{g} d'abscisse a - a (aa est le nombre réel défini dans la partie C).

  1. Démontrer que la droite (EF) est tangente à la courbe Cf\mathscr C_{f} au point E.

  2. Démontrer que (EF) est tangente à Cg\mathscr C_{g} au point F.