Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Close

Fonctions - Bac ES/L Liban 2013

Exercice 3   (5 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

On considère la fonction CC définie sur l'intervalle [5;60]\left[5 ; 60\right] par :

C(x)=e0,1x+20x.C\left(x\right)=\frac{e^{0,1x}+20}{x}.

  1. On désigne par CC^{\prime} la dérivée de la fonction CC.

    Montrer que, pour tout x[5;60]x\in \left[5 ; 60\right]:

    C(x)=0,1xe0,1xe0,1x20x2C^{\prime}\left(x\right)=\frac{0,1xe^{0,1x} - e^{0,1x} - 20}{x^{2}}

  2. On considère la fonction ff définie sur [5;60]\left[5 ; 60\right] par

    f(x)=0,1xe0,1xe0,1x20.f\left(x\right)=0,1xe^{0,1x} - e^{0,1x} - 20.

    1. Montrer que la fonction ff est strictement croissante sur [5;60]\left[5 ; 60\right].

    2. Montrer que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 possède une unique solution α\alpha dans [5;60]\left[5 ; 60\right].

    3. Donner un encadrement à l'unité de α\alpha .

    4. En déduire le tableau de signes de f(x)f\left(x\right) sur [5;60]\left[5 ; 60\right].

  3. En déduire le tableau de variations de CC sur [5;60]\left[5 ; 60\right].

  4. En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :

    1. C(x)=2C\left(x\right)=2

    2. C(x)=5C\left(x\right)=5

Partie B

Une entreprise fabrique chaque mois xx vélos de course, avec xx appartenant à l'intervalle [5;60]\left[5 ; 60\right].

Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production de xx vélos de course, est donné par la fonction CC définie dans la partie A.

Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal.