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Algorithme et équation

On considère l'algorithme suivant :

variables a, b : nombres début algorithme afficher "Entrer la valeur de a : " lire a b prend la valeur a-3 b prend la valeur b² b prend la valeur b+1 afficher "La valeur de b est ", b fin algorithme

  1. On entre la valeur 0 pour a. Que va afficher l'algorithme en retour?

    Même question si on entre la valeur 3 pour a

  2. L'algorithme affiche : « La valeur de b est 2 ». Quelles valeurs de a a-t-on pu entrer ?

  3. Est-il possible d'obtenir comme résultat : « La valeur de b est 0 ». Justifier.

Corrigé

  1. Si on entre 0 pour a

    Instruction valeur de a valeur de b
    lire a 0
    b prend la valeur a-3 0 0-3=-3
    b prend la valeur b² 0 (-3)²=9
    b prend la valeur b+1 0 9+1=10
    L'algorithme affiche : « La valeur de b est 10 »

    Si on entre 3 pour a

    Instruction valeur de a valeur de b
    lire a 3
    b prend la valeur a-3 3 3-3=0
    b prend la valeur b² 3 0²=0
    b prend la valeur b+1 3 0+1=1
    L'algorithme affiche : « La valeur de b est 1 »

  2. Supposons que l'on saisit la valeur xx pour a. On obtient :

    Instruction valeur de a valeur de b
    lire a xx
    b prend la valeur a-3 xx x−3x - 3
    b prend la valeur b² xx (x−3)2\left(x - 3\right)^2
    b prend la valeur b+1 xx (x−3)2+1\left(x - 3\right)^2+1
    A la fin de l'algorithme la valeur de b est (x−3)2+1\left(x - 3\right)^2+1. Cette valeur est égale à 22 si et seulement si :

    (x−3)2+1=2\left(x - 3\right)^2+1=2

    (x−3)2=2−1\left(x - 3\right)^2=2 - 1

    (x−3)2=1\left(x - 3\right)^2=1

    x−3=1x - 3=\sqrt{1} ou x−3=−1x - 3= - \sqrt{1}

    x−3=1x - 3=1 ou x−3=−1x - 3= - 1

    x=4x=4 ou x=2x=2

    On a entré la valeur 2 ou la valeur 4.

  3. Pour obtenir comme résultat : « La valeur de b est 0 », il a fallu entrer une valeur xx telle que :

    (x−3)2+1=0\left(x - 3\right)^2+1=0

    (x−3)2=−1\left(x - 3\right)^2= - 1

    Or cette équation n'a pas de solution car un carré est toujours positif ou nul (et ne peut donc pas être égal à −1 - 1).

    Par conséquent, il n'est pas possible d'obtenir comme résultat : « La valeur de b est 0 »

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