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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Ajustement affine et exponentiel-Bac ES Métropole 2008

Exercice 3 (9 points)

(Commun à tous les candidats)

On se propose d'étudier l'évolution des ventes d'un modèle de voiture de gamme moyenne depuis sa création en 1999. Les parties I et II peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

Partie I

Le tableau suivant donne le nombre annuel, exprimé en milliers, de véhicules vendus les cinq premières années de commercialisation :

Année 1999 2000 2001 2002 2003
Rang de l'année : xix_{i} 0 1 2 3 4
Nombre annuel de véhicules vendus en milliers : yiy_{i} 81,3 92,3 109,7 128,5 131,2

  1. Dans le plan (P) muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques 1cm pour une année sur l'axe des abscisses et 1cm pour 10 milliers de véhicules vendus sur l'axe des ordonnées, représenter le nuage de points associé à la série statistique (x_i, ; y_i)pour i entier variant de 0 à 4.

  2. L'allure du nuage de points permet d'envisager un ajustement affine.

    1. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage.

    2. Déterminer l'équation y=ax+b de la droite (D) d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.

    3. Placer le point G et tracer la droite (D) sur le graphique précédent.

    4. En utilisant l'ajustement affine du b, donner une estimation du nombre de véhicules vendus en 2007.

  3. Le tableau suivant donne le nombre annuel de véhicules vendus, exprimé en milliers de 2003 à 2007:

    Année 2003 2004 2005 2006 2007
    Rang de l'année : xix_{i} 4 5 6 7 8
    Nombre annuel de véhicules vendus en milliers : yiy_{i} 131,2 110,8 101,4 86,3 76,1

    1. Compléter le nuage de points précédent à l'aide de ces valeurs.

    2. L'ajustement précédent est-il encore adapté ? Justifier la réponse.

    3. On décide d'ajuster le nuage de points associé à la série statistique (xi;yi)\left(x_{i} ; y_{i}\right), pour i entier variant de 4 à 8, par une courbe qui admet une équation de la forme y=ecx+dy=e^{cx+d}.

      Déterminer les réels c et d pour que cette courbe passe par les points A (4; 131,2) et B (8 ; 76,1). On donnera la valeur exacte, puis l'arrondi au millième de chacun de ces nombres réels.

Partie II

Soit ff la fonction définie sur l'intervalle [4 ; 10] par : f(x)=e0,136x+5,421f\left(x\right)=e^{ - 0,136x+5,421}

On suppose que ff modélise en milliers l'évolution du nombre annuel de véhicules vendus à partir de l'année 2003.

  1. Déterminer le sens de variation de la fonction ff sur l'intervalle [4 ; 10]

  2. Tracer la courbe (C) représentative de la fonction ff dans le même repère que le nuage de points.

  3. L'entreprise décide d'arrêter la fabrication du modèle l'année où le nombre annuel de véhicules vendus devient inférieur à 65 000.

    1. Résoudre algébriquement dans l'intervalle [4; 10] l'inéquation f(x)65f\left(x\right)\leqslant 65.

      En quelle année l'entreprise doit-elle prévoir cet arrêt ?

    2. Retrouver graphiquement le résultat précédent en laissant apparents les traits de construction nécessaires.

Corrigé

Partie I


  1. pc ajustement-affine-1

    1. On calcule la moyenne des valeurs de xix_{i} et de yiy_{i} et on trouve G(2;108,6)

    2. A la calculatrice et en arrondissant au dixième :

      y=13,6x+81,4y=13,6x+81,4


    3. pc ajustement-affine-2

    4. L'année 2007 correspond à x=8.

      y=13,6×8+81,4=190,2

      Une estimation du nombre de véhicule vendus est donc de 190,2 milliers.

    1. pc ajustement-affine-3

    2. L'ajustement linéaire précédent n'est plus adapté. Le nombre de véhicule vendus en 2007 est loin de l'estimation que l'on avait faite précédemment. Par ailleurs les points ne sont plus du tout alignés.

  2. Pour que la courbe passe par les points A et B il faut et il suffit que :

    {e4c+d=131,2e8c+d=76,1\left\{ \begin{matrix} e^{4c+d}=131,2 \\ e^{8c+d}=76,1 \end{matrix}\right.

    {4c+d=ln(131,2)8c+d=ln(76,1)\left\{ \begin{matrix} 4c+d=\ln\left(131,2\right) \\ 8c+d=\ln\left(76,1\right) \end{matrix}\right.

    {d=ln(131,2)4c4c=ln(76,1)ln(131,2)\left\{ \begin{matrix} d=\ln\left(131,2\right) - 4c \\ 4c=\ln\left(76,1\right) - \ln\left(131,2\right)\end{matrix}\right.

    {c=14(ln(76,1)ln(131,2))d=2ln(131,2)ln(76,1)\left\{ \begin{matrix} c=\frac{1}{4}\left(\ln\left(76,1\right) - \ln\left(131,2\right)\right) \\ d=2\ln\left(131,2\right) - \ln\left(76,1\right)\end{matrix}\right.

    Les arrondis aux millième près sont :

    c0,136c\approx - 0,136

    d5,421d\approx 5,421

Partie II

  1. ff est la composée de la fonction affine x0,136x+5,421x\mapsto - 0,136x+5,421 qui est décroissante sur tout intervalle de R\mathbb{R} et de la fonction exponentielle qui est croissante sur tout intervalle de R\mathbb{R}, donc ff est décroissante sur [4;10].

    (On pouvait aussi calculer la dérivée f(x)=0,136e0,136x+5,421f^{\prime}\left(x\right)= - 0,136e^{ - 0,136x+5,421})


  2. pc ajustement-affine-4

    1. f(x)65e0,136x+5,42165f\left(x\right)\leqslant 65 \Leftrightarrow e^{ - 0,136x+5,421}\leqslant 65

      La fonction ln étant strictement croissante sur ]0; +\infty [ :

      f(x)650,136x+5,421ln(65)x5,421ln(65)0,1369,2f\left(x\right)\leqslant 65 \Leftrightarrow - 0,136x+5,421\leqslant \ln\left(65\right) \Leftrightarrow x\geqslant \frac{5,421 - \ln\left(65\right)}{0,136}\approx 9,2

      L'entreprise doit donc prévoir l'arrêt pour l'année de rang 10 c'est à dire 2009.


    2. pc ajustement-affine-4