Exercice corrigéExercice 2
5 points-Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Partie 1
Sachant qu’il y avait 13 millions de cotisants au régime général de retraites en France métropolitaine en 1975 et 16,6 millions de cotisants en 2005, calculer le pourcentage d’augmentation du nombre de cotisants entre 1975 et 2005. On arrondira le résultat à 0,1 % près.
Partie 2
Le tableau ci-dessous donne le nombre de retraités en France métropolitaine entre 1975 et 2005 :
| Année | 1975 | 1980 | 1985 | 1990 | 1995 | 2000 | 2005 |
| Rang de l’année x_{i} 0\leqslant i\leqslant 6 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Nombre de retraités (en millions) y_{i} 0\leqslant i\leqslant 6 | 4,1 | 5,0 | 5,9 | 7,4 | 8,3 | 9,7 | 10,7 |
Source : INSEE / Caisse Nationale d’Assurance Vieillesse 2007
- Sur une feuille de papier millimétré, représenter le nuage de points M_{i} \left(x_{i}; y_{i}\right), 0 \leqslant i \leqslant 6, associé à la série statistique dans un repère orthogonal d’unités graphiques 2cm en abscisse (pour les rangs d’année) et 1cm en ordonnée (pour 1 million de retraités).
- Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique.
- Donner, à l’aide de la calculatrice, l’équation réduite de la droite d d’ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients au dixième).
- Placer le point G et tracer la droite d dans le repère construit à la première question.
- En utilisant l’ajustement trouvé à la question 2, déterminer par un calcul une estimation du nombre de retraités en 2010.
Partie 3
On utilisera les données des parties 1 et 2. Dans cette partie, les résultats seront donnés sous forme de pourcentage, arrondis au dixième.
On appelle rapport démographique de l’année n le rapport
- Calculer le taux d’évolution de R_{n} entre 1975 et 2005.
- Entre 2005 et 2010, une étude montre que le nombre de cotisants devrait augmenter de 6,4% et que le nombre de retraités devrait augmenter de 12,1%. Calculer le taux d’évolution du rapport démographique entre 2005 et 2010.
Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.
Corrigé
Partie 1
Soit C_{n} le nombre (en millions) de cotisants au régime général de retraites en France métropolitaine pendant l’année n,
le pourcentage d’augmentation du nombre de cotisants entre 1975 et 2005 est :
t=\frac{C_{2005}-C_{1975}}{C_{1975}}=\frac{16,6-13}{13}=0,277
soit 27,7%
Partie 2
- Soient \left(\overline{x},\overline{y}\right) les coordonnées du point G :
\overline{x}=\frac{0+1+2+3+4+5+6}{7}=3
\overline{y}=\frac{4,1+5+5,9+7,4+8,3+9,7+10,7}{7}=7,3
Le point G a pour coordonnées (3; 7,3) - A l’aide de la calculatrice, on obtient l’équation réduite de la droite d d’ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés :
y=1,1x+3,9 - (Voir ci-dessus)
- Soient \left(\overline{x},\overline{y}\right) les coordonnées du point G :
- L’année 2010 correspond au rang x=7. On a alors:
y=1,1\times 7+3,9
On peut estimer le nombre de retraités en 2010 à 11,6 millions de personnes
Partie 3
- Le taux d’évolution de R_{n} entre 1975 et 2005 est :
t=\frac{R_{2005}-R_{1975}}{R_{1975}}
avec :
R_{1975}=\frac{13}{4,1}\approx 3,17
R_{2005}=\frac{16,6}{10,7}\approx 1,55
donc :
t=\frac{1,55-3,17}{3,17}\approx -0,511
Entre 1975 et 2005, le rapport démographique a baissé de 51,1% - Le nombre de cotisants en 2010 devrait être (en millions) : 16,6\times \left(1+0,064\right)\approx 17,66
Le nombre de retraités en 2010 devrait être (en millions) : 10,7\times \left(1+0,121\right)\approx 11,99
donc:
R_{2010}\approx \frac{17,66}{11,99}\approx 1,47
Le taux d’évolution de R_{n} entre 2005 et 2010 devrait être de :
t^{\prime}=\frac{R_{2010}-R_{2005}}{R_{2005}}\approx -0,052
Entre 2005 et 2010, le rapport démographique devrait baisser de 5,2%