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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Schéma de Bernoulli - Loi binomiale

1. Loi de Bernoulli

Définition

On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre pp (avec 0<p<10 < p < 1) une expérience aléatoire ayant deux issues :

  • l'une appelée succès (généralement notée SS) de probabilité pp,

  • l'autre appelée échec (généralement notée S\overline S) de probabilité 1p1 - p.

Définition

On considère la variable aléatoire XX qui vaut 11 en cas de succès et 00 en cas d'échec.

Cette variable aléatoire suit la loi de Bernoulli de paramètre pp, définie par le tableau suivant:

xix_{i} 00 11
p(X=xi)p\left(X=x_{i}\right) 1p1 - p pp

Exemple

Au bonneteau, deux cartes noires et une carte rouge sont présentées, faces cachées, sur la table.

Bonneteau

On suppose qu'un joueur choisit une carte complètement au hasard.

On a affaire à une loi de Bernoulli de paramètre p=13p=\frac{1}{3}.

La probabilité de succès est : p(S)=p=13p\left(S\right)=p=\frac{1}{3} et la probabilité d'échec p(S)=1p=23p\left(\overline S\right)=1 - p=\frac{2}{3}

Propriété

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire XX qui suit une loi de Bernoulli de paramètre pp est :

E(X)=p.E\left(X\right)=p.

Démonstration

D'après la définition de l'espérance mathématique :

E(X)=0×(1p)+1×p=p.E\left(X\right)=0\times \left(1 - p\right)+1\times p=p.

2. Schéma de Bernoulli - Loi binomiale

Définition

On appelle schéma de Bernoulli la répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Exemple

Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules blanches. On tire 3 boules au hasard.

  • Si l'épreuve s'effectue sans remise, les tirages ne sont ni identiques, ni indépendants. En effet, le fait d'avoir retiré une boule lors du premier tirage fait que le second tirage n'est pas identique au premier.

  • Si l'épreuve s'effectue avec remise, on pourra, par contre, considérer que les tirages sont identiques et indépendants. On a donc bien, dans ce cas, un schéma de Bernoulli.

Définition

Soit XX la variable aléatoire qui compte le nombre de succès dans un schéma de Bernouilli constitué de nn épreuves ayant chacune une probabilité de succès égale à pp.

La variable aléatoire X suit une loi appelée loi binomiale de paramètres nn et pp, souvent notée B(n;p)\mathscr B \left(n ; p\right).

Exemple

On reprend l'exemple précédent : tirage au hasard et avec remise de 3 boules parmi 5 boules comportant 2 boules rouges et 3 boules blanches. On considère la variable aléatoire XX qui compte le nombre de boules rouges obtenues. La variable XX sur une loi binomiale de paramètres 3 (nombre d'épreuves) et 25\frac{2}{5} (probabilité d'obtenir une boule rouge lors d'une épreuve).

Ce schéma peut être représenté par l'arbre suivant :

Arbre schéma de Bernoulli

Grâce à l'arbre on voit que :

  • la probabilité d'avoir 3 succès (c'est à dire 3 boules rouges) est p(X=3)=(25)3=8125p\left(X=3\right) =\left(\frac{2}{5}\right)^{3}=\frac{8}{125} ;

  • il y a 3 chemins qui correspondent à 2 succès (SSS,SSS,SSSSS\overline S, S\overline SS, \overline SSS). La probabilité d'obtenir 2 boules rouges est donc :

    p(X=2)=(25)2×35+(25)2×35+(25)2×35p\left(X=2\right) =\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\times \frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\times \frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\times \frac{3}{5}=3×[(25)2×35]=36125=3\times \left[\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\times \frac{3}{5}\right]=\frac{36}{125} ;

  • il y a également 3 chemins qui correspondent à un unique succès (SSS,SSS,SSSS\overline S\overline S, \overline SS\overline S, \overline S\overline SS). La probabilité d'obtenir une unique boule rouge est donc :

    p(X=1)=25×(35)2+25×(35)2+25×(35)2p\left(X=1\right) = \frac{2}{5}\times \left(\frac{3}{5}\right)^{2}+ \frac{2}{5}\times \left(\frac{3}{5}\right)^{2}+ \frac{2}{5}\times \left(\frac{3}{5}\right)^{2}=3×[25×(35)2]=54125=3\times \left[ \frac{2}{5}\times \left(\frac{3}{5}\right)^{2}\right]=\frac{54}{125} ;

  • la probabilité de n'avoir aucune boule rouge est p(X=0)=(35)3=27125p\left(X=0\right) =\left(\frac{3}{5}\right)^{3}=\frac{27}{125}.

La loi de XX est donc donnée par le tableau suivant :

xix_{i} 00 11 22 33
p(X=xi)p\left(X=x_{i}\right) 27125\frac{27}{125} 54125\frac{54}{125} 36125\frac{36}{125} 8125\frac{8}{125}

On vérifie bien que 27125+54125+36125+8125=1\frac{27}{125}+\frac{54}{125}+\frac{36}{125}+\frac{8}{125}=1.

Propriété

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire XX qui suit une loi binomiale B(n;p)\mathscr B \left(n ; p\right) est :

E(X)=np.E\left(X\right)=np.

Exemple

Dans l'exemple précédent, la variable X suit une loi binomiale B(3;25)\mathscr B (3 ; \dfrac{2}{5}).

Son espérance mathématique est donc E(X)=3×25=65=1,2E\left(X\right)=3\times \frac{2}{5}=\frac{6}{5}=1,2.

On vérifie que l'on obtient bien le même résultat en utilisant le tableau de la loi de XX et la définition de l'espérance mathématique :

E(X)=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125E\left(X\right)=0\times \frac{27}{125}+1\times \frac{54}{125}+2\times \frac{36}{125}+3\times \frac{8}{125}=150125=1,2=\frac{150}{125}=1,2.

3. Coefficients binomiaux

Définition

On considère un arbre pondéré représentant une loi binomiale B(n;p)\mathscr B \left(n ; p\right).

Le coefficient binomial (nk)\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (lire kk parmi nn) est le nombre de chemins qui correspondent à kk succès.

Exemple

On reprend le même exemple que précédemment. On a vu, par exemple, qu'il y avait 3 chemins correspondant à 2 succès. On a donc (32)=3\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}= 3.

Remarques

  • On peut aussi employer le mot combinaisons pour désigner un coefficient binomial;

  • Pour calculer un coefficient binomial, sur la plupart des calculatrices, on utilise la commande nCr. Dans un tableur, on utilise la formule =COMBIN(n;k).

Propriétés

  • Pour tout entier naturel nn :

    (n0)=1\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}=1 et (nn)=1\begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix}=1.

  • Pour tout entier naturel nn et tout entier naturel kk (0k<n0\leqslant k < n) :

    (nk)+(nk+1)=(n+1k+1)\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix}.

Remarque

Ces propriétés permettent de calculer les coefficients binomiaux de proches en proches, grâce au Triangle de Pascal. La figure ci-dessous représente ce triangle pour n10n\leqslant 10

triangle de Pascal

Pour construire ce triangle on procède de la manière suivante :

  • On place des «1» dans la colonne k=0k=0.

  • On place des «1» sur la diagonale (qui correspond à k=nk=n).

  • On utilise la formule (nk)+(nk+1)=(n+1k+1)\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} pour calculer les autres coefficients.

    Par exemple, pour trouver (74)=35\begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix}=35 on fait la somme des deux coefficients (63)=20\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}=20 et (64)=15\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}=15 de la ligne précédente.

Théorème

Soit XX une variable aléatoire de loi B(n;p)\mathscr B \left(n ; p\right).

Pour tout entier kk compris entre 00 et nn :

p(X=k)=(nk)pk(1p)nkp\left(X=k\right)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^{k} \left(1 - p\right)^{n - k}.

Exemple

On lance 8 fois une pièce équilibrée et on appelle XX la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où l'on obtient Pile.

XX suit une loi binomiale de paramètres n=8n=8 et p=12p=\frac{1}{2}.

La probabilité d'obtenir 4 fois Pile (par exemple) est :

p(X=4)=(84)×(12)4×(12)4p\left(X=4\right) = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix}\times \left(\frac{1}{2}\right)^{4}\times \left(\frac{1}{2}\right)^{4}.

(84)=70\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix}= 70   (à la calculatrice).

Donc :

p(X=4)=70×116×116=70256=35128p\left(X=4\right)=70\times \frac{1}{16}\times \frac{1}{16}=\frac{70}{256}=\frac{35}{128}.