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Les suites Cours

Les suites géométriques

Durée estimée
20 minutes
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Objectifs du chapitre

1 - Caractéristiques d'une suite géométrique

Définition

On dit qu'une suite $ (u_{n})_{n\in \mathbb{N}} $ est une suite géométrique s'il existe un nombre réel $ q $ tel que :
pour tout $ n\in \mathbb{N} $, $ u_{n+1}=q \times u_{n} $
Le réel $ q $ s'appelle la raison de la suite géométrique $ (u_{n}) $.

Remarque

Pour démontrer qu'une suite $ (u_{n})_{n\in \mathbb{N}} $ dont les termes sont non nuls est une suite géométrique, on pourra calculer le rapport $ \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} $.
Si ce rapport est une constante $ q $, on pourra affirmer que la suite est une suite géométrique de raison $ q $.

Exemple

Soit la suite $ (u_{n})_{n\in \mathbb{N}} $ définie par $ u_{n}=\dfrac{3}{2^{n}} $.
Les termes de la suite sont tous strictement positifs et

$ \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{\dfrac{3}{2^{n+1}}}{\dfrac{3}{2^{n}}}=\dfrac{3}{2^{n+1}}\times \dfrac{2^{n}}{3}=\dfrac{2^{n}}{2^{n+1}}=\dfrac{2^{n}}{2\times 2^{n}}=\dfrac{1}{2} $

La suite $ (u_{n}) $ est une suite géométrique de raison $ \dfrac{1}{2} $.

Propriété

Pour $ n $ et $ k $ quelconques entiers naturels, si la suite $ (u_{n}) $ est géométrique de raison $ q $ :

$ u_{n}=u_{k}\times q^{n - k} $

En particulier $ u_{n}=u_{0}\times q^{n} $.

Propriété

Réciproquement, soient $ a $ et $ b $ deux nombres réels. La suite $ (u_{n}) $ définie par $ u_{n}=a\times b^{n} $ est une suite géométrique de raison $ q=b $ et de premier terme $ u_{0}=a $.

[preuve]

$ u_{n+1}=a\times b^{n+1}=a\times b^{n}\times b=u_{n}\times b $

et

$ u_{0}=a\times b^{0}=a\times 1=a $

[/preuve]

Théorème

Soit $ (u_{n}) $ une suite géométrique de raison $ q > 0 $ et de premier terme strictement positif :

  • Si $ q >1 $, la suite $ (u_{n}) $ est strictement croissante
  • Si $ 0 < q <1 $, la suite $ (u_{n}) $ est strictement décroissante
  • Si $ q=1 $, la suite $ (u_{n}) $ est constante

Théorème

Si $ (u_{n}) $ et $ (v_{n}) $ sont deux suites géométriques de raison respectives $ q $ et $ q^{\prime} $ alors le produit $ (w_{n}) $ de ces deux suites défini par :

$ w_{n}=u_{n}\times v_{n} $

est une suite géométrique de raison $ q^{\prime\prime}=q\times q^{\prime} $.

2 - Somme des puissances successives d'un nombre

Théorème

Soit $ q $ un nombre réel différent de 1 :

$ 1+q+q^{2}+ \dots +q^{n} = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} $

Remarque

Cette formule n'est pas valable pour $ q=1 $. Mais dans ce cas le calcul est immédiat car tous les termes sont égaux à 1.

Exemple

Soit à calculer la somme $ S=1+2+4+8+16 + \dots +2^{n} $.
Donc :

$ S=\dfrac{1 - 2^{n+1}}{1 - 2}=\dfrac{1 - 2^{n+1}}{ - 1}=2^{n+1} - 1 $

3 - Limite de la suite $ (q^{n}) $ où $ q\geqslant 0 $

Théorème

Soit $ q $ un nombre réel positif.

  • Si $ q > 1 $ : alors $ q^{n} $ est aussi grand que l'on veut dès que $ n $ est suffisamment grand. On dit que la suite $ (q^{n}) $ tend vers $ +\infty $ et on écrit $ \lim_{n\rightarrow +\infty } q^{n} = +\infty $.
  • Si $ 0 \leqslant q < 1 $ : alors $ q^{n} $ est aussi proche de zéro que l'on veut dès que $ n $ est suffisamment grand. On dit que la suite $ (q^{n}) $ tend vers $ 0 $ et on écrit $ \lim_{n\rightarrow +\infty } q^{n} = 0 $.

Remarque

Pour $ q=1 $, $ q^{n}=1^{n}=1 $ ; la suite est constante, égale à $ 1 $, et tend donc vers $ 1 $.

4 - Suites arithmético-géométriques

Définition

Une suite arithmético-géométrique $ u_{n} $ est définie par son premier terme $ u_{0} $ et une relation de récurrence du type :

$ u_{n+1} = a\times u_{n}+b $

pour tout entier $ n $, où $ a $ et $ b $ sont deux nombres réels.

Remarque

Attention : ces suites ne sont ni arithmétiques (sauf si $ a=1 $) ni géométriques (sauf si $ b=0 $).

Propriété

Il existe un nombre réel $ k $ tel que la suite $ v_{n} $ définie, pour tout entier $ n $, par $ v_{n}=u_{n}+k $ soit une suite géométrique de raison $ a $.

Remarque

  • En général, dans les exercices, le nombre $ k $ est donné (et sinon une démarche pour le trouver est indiquée). On demande alors de prouver que $ v_{n} $ est une suite géométrique de raison $ a $.
  • Puisque $ v_{n}=u_{n}+k $, pour tout entier $ n $, on a en particulier $ v_{0}=u_{0}+k $ ce qui permet de connaître le premier terme de la suite $ v_{n} $.
  • $ v_{n}=u_{n}+k $ signifie aussi que $ u_{n}=v_{n} - k $.
    Donc une fois que l'on connaît $ v_{n} $ on peut trouver $ u_{n} $ (voir exemple ci-dessous)

Exemple

Soit la suite $ (u_{n}) $ définie par $ u_{0}=5 $ et $ u_{n+1}=0{,}6u_{n}+4 $.

  1. Montrer que la suite $ (v_{n}) $ définie par $ v_{n}=u_{n} - 10 $ est une suite géométrique.
  2. En déduire l'expression de $ u_{n} $ en fonction de $ n $.

1. Montrons que la suite $ (v_{n}) $ est une suite géométrique

Pour montrer que la suite $ (v_{n}) $ est géométrique on va calculer $ v_{n+1} $ en fonction de $ v_{n} $.
$ v_{n}=u_{n} - 10 $ pour tout entier $ n $ donc :
$ v_{n+1}=u_{n+1} - 10 $
Or on sait que $ u_{n+1}=0{,}6u_{n}+4 $ donc :

$ v_{n+1}=0{,}6u_{n}+4 - 10 = 0{,}6u_{n} - 6 $

Ici, une petite astuce consiste à mettre $ 0{,}6 $ en facteur (on peut également dire que $ u_{n}=v_{n}+10 $ et remplacer $ u_{n} $ par $ v_{n}+10 $)

$ v_{n+1}=0{,}6u_{n} - 0{,}6\times 10=0{,}6\left(u_{n} - 10\right)=0{,}6v_{n} $

On a bien une relation du type $ v_{n+1}=q\times v_{n} $ avec $ q=0{,}6 $ ce qui montre que la suite $ (v_{n}) $ est une suite géométrique de raison $ 0{,}6 $.

2. Expression de $ u_{n} $ en fonction de $ n $

Par ailleurs, $ v_{0}=u_{0} - 10=5 - 10= - 5 $.
$ (v_{n}) $ est une suite géométrique de premier terme $ v_{0}=-5 $ et de raison $ q=0{,}6 $ donc pour tout entier $ n $ :

$ v_{n}=v_{0}\times q^{n}= - 5\times 0{,}6^{n} $

Comme $ u_{n}=v_{n}+10 $, on obtient finalement :

$ u_{n}= - 5\times 0{,}6^{n}+10 $

5 - Limite de la somme des termes d'une suite géométrique

Théorème

Soit $ q $ un nombre réel tel que $ 0\leqslant q < 1 $. Alors la somme des puissances successives de $ q $ admet une limite finie :

$ \lim_{n\rightarrow +\infty }\left(1+q+q^{2}+\dots +q^{n}\right)=\dfrac{1}{1 - q} $

Plus généralement, si $ (u_{n}) $ est une suite géométrique de premier terme $ u_{0} $ et de raison $ q $ avec $ 0\leqslant q < 1 $, alors :

$ \lim_{n\rightarrow +\infty }\left(u_{0}+u_{1}+\dots +u_{n}\right)=\dfrac{u_{0}}{1 - q} $

[preuve]
On part de la formule de la somme partielle établie au paragraphe 2, valable pour $ q\neq 1 $ :

$ S_{n}=1+q+q^{2}+\dots +q^{n}=\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} $

Comme $ 0\leqslant q < 1 $, on sait (paragraphe 3) que $ \lim_{n\rightarrow +\infty } q^{n}=0 $, et donc aussi $ \lim_{n\rightarrow +\infty } q^{n+1}=0 $.
Le dénominateur $ 1 - q $ est une constante non nulle, donc par quotient de limites :

$ \lim_{n\rightarrow +\infty } S_{n}=\dfrac{1 - 0}{1 - q}=\dfrac{1}{1 - q} $

Pour une suite géométrique $ (u_{n}) $ quelconque de premier terme $ u_{0} $, chaque terme s'écrit $ u_{k}=u_{0}\times q^{k} $. On peut donc mettre $ u_{0} $ en facteur :

$ u_{0}+u_{1}+\dots +u_{n}=u_{0}\left(1+q+q^{2}+\dots +q^{n}\right) $

La limite de cette somme est alors $ u_{0}\times \dfrac{1}{1 - q}=\dfrac{u_{0}}{1 - q} $.
[/preuve]

Exemple

On considère la suite géométrique de premier terme $ u_{0}=3 $ et de raison $ q=\dfrac{1}{4} $. On veut connaître la limite de la somme $ S_{n}=u_{0}+u_{1}+\dots +u_{n} $ lorsque $ n $ devient très grand.
La raison vérifie $ 0\leqslant \dfrac{1}{4} < 1 $, donc le théorème s'applique :

$ \lim_{n\rightarrow +\infty } S_{n}=\dfrac{u_{0}}{1 - q}=\dfrac{3}{1 - \dfrac{1}{4}}=\dfrac{3}{\dfrac{3}{4}}=3\times \dfrac{4}{3}=4 $

Autrement dit, en additionnant de plus en plus de termes, la somme se rapproche de $ \mathbf{4} $ sans jamais le dépasser.

Attention

La formule $ \dfrac{u_{0}}{1 - q} $ ne donne la limite de la somme que lorsque $ 0\leqslant q < 1 $ (plus généralement $ \left| q\right| < 1 $). Si $ q\geqslant 1 $, la somme $ S_{n} $ tend vers $ +\infty $ : elle n'a pas de limite finie.

6 - Représentation graphique d'une suite récurrente

Remarque

Lorsqu'une suite est définie par une relation de récurrence du type $ u_{n+1}=f(u_{n}) $, on peut visualiser ses termes à l'aide d'une construction graphique appelée construction en escalier (ou en toile). On trace dans un même repère :

  • la courbe représentative de la fonction $ f $ ;
  • la droite $ \Delta $ d'équation $ y=x $.

Propriété

Pour placer les termes successifs de la suite à partir de $ u_{0} $ situé sur l'axe des abscisses :

  1. On monte verticalement jusqu'à la courbe de $ f $ : l'ordonnée du point obtenu est $ f(u_{0})=u_{1} $.
  2. On se déplace horizontalement jusqu'à la droite $ \Delta $ d'équation $ y=x $ : cela reporte la valeur $ u_{1} $ sur l'axe des abscisses.
  3. On répète ces deux mouvements (vers la courbe, puis vers la droite) pour obtenir $ u_{2} $, puis $ u_{3} $, et ainsi de suite.

La figure obtenue permet de conjecturer le comportement de la suite : ici, les termes se rapprochent de l'abscisse du point d'intersection de la courbe et de la droite $ \Delta $.

Exemple

On considère la suite définie par $ u_{0}=1 $ et $ u_{n+1}=0{,}5u_{n}+2 $, c'est-à-dire $ u_{n+1}=f(u_{n}) $ avec $ f(x)=0{,}5x+2 $.
Les premiers termes sont $ u_{0}=1 $, $ u_{1}=2{,}5 $, $ u_{2}=3{,}25 $, $ u_{3}=3{,}625 $.
La construction en escalier montre que les termes croissent et se rapprochent de $ 4 $, abscisse du point d'intersection de la droite $ y=0{,}5x+2 $ et de la droite $ \Delta $ d'équation $ y=x $. On peut donc conjecturer que la suite $ (u_{n}) $ converge vers $ 4 $.

Construction en escalier de la suite récurrente u(n+1)=0,5 u(n)+2 convergeant vers 4

Les questions essentielles

1. Comment démontrer qu'une suite est géométrique ?

On vérifie que tous les termes sont non nuls puis on calcule le rapport $ \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} $ pour $ n $ quelconque. Si ce rapport est une constante $ q $, la suite est géométrique de raison $ q $.

Voir la fiche méthode : Démontrer qu'une suite est géométrique

2. Comment calculer un terme d'une suite géométrique ?

On utilise la formule explicite $ u_{n}=u_{0}\times q^{n} $ ou, plus généralement, $ u_{n}=u_{k}\times q^{n - k} $ lorsqu'un autre terme $ u_{k} $ est connu à la place de $ u_{0} $.

Voir la fiche méthode : Calculer un terme d'une suite géométrique

3. Comment étudier les variations d'une suite géométrique ?

Pour $ u_{0} > 0 $ et $ q > 0 $ : la suite est croissante si $ q > 1 $, décroissante si $ 0 < q < 1 $, constante si $ q=1 $. Si $ u_{0} < 0 $, le sens de variation est inversé.

Voir la fiche méthode : Étudier les variations d'une suite géométrique

4. Comment calculer la somme des termes d'une suite géométrique ?

On applique la formule $ S=\text{(premier terme)}\times \dfrac{1 - q^{N}}{1 - q} $ où $ N $ est le nombre de termes additionnés. Pour la somme des puissances : $ 1+q+q^{2}+\dots +q^{n}=\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} $.

Voir la fiche méthode : Calculer la somme des termes d'une suite géométrique

5. Comment déterminer la limite d'une suite géométrique ?

On regarde la position de la raison $ q $ par rapport à $ 1 $ : si $ q > 1 $, $ q^{n}\rightarrow +\infty $ ; si $ 0\leqslant q < 1 $, $ q^{n}\rightarrow 0 $ ; si $ q=1 $, la suite est constante. On multiplie ensuite par $ u_{0} $ en tenant compte de son signe.

Voir la fiche méthode : Déterminer la limite d'une suite géométrique

6. Comment étudier une suite arithmético-géométrique ?

On introduit une suite auxiliaire $ v_{n}=u_{n}+k $ qui est géométrique de raison $ a $, on en déduit l'expression de $ v_{n} $ puis celle de $ u_{n}=v_{n}-k $ et enfin la limite de $ \left(u_{n}\right) $.

Voir la fiche méthode : Étudier une suite arithmético-géométrique