Étudier les variations d’une suite géométrique
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Soit $ \left(u_{n}\right) $ une suite géométrique de raison $ q > 0 $ et de premier terme $ u_{0}\neq 0 $.
- Étape 1 : repérer la valeur de la raison $ q $ et le signe du premier terme $ u_{0} $.
- Étape 2 : appliquer la règle suivante (cas $ u_{0} > 0 $) :
- si $ q > 1 $ : la suite est strictement croissante.
- si $ 0 < q < 1 $ : la suite est strictement décroissante.
- si $ q=1 $ : la suite est constante.
- Étape 3 : si $ u_{0} < 0 $, le sens de variation est inversé (croissante devient décroissante).
- Étape 4 : conclure clairement avec une phrase faisant référence à $ u_{0} $ et $ q $.
Remarque
Le programme se limite au cas $ q > 0 $. Pour $ q < 0 $, les termes changent de signe d'un rang à l'autre : la suite n'est ni croissante ni décroissante (elle est dite alternée).
Raison supérieure à 1, premier terme positif
Soit $ \left(u_{n}\right) $ la suite géométrique de premier terme $ u_{0}=2 $ et de raison $ q=3 $.
Étudier les variations de $ \left(u_{n}\right) $.
Étape 1 : $ u_{0}=2 > 0 $ et $ q=3 $.
Étape 2 : $ q=3 > 1 $.
Étape 4 : comme $ u_{0} > 0 $ et $ q > 1 $, la suite $ \left(u_{n}\right) $ est strictement croissante.
Vérification : $ u_{0}=2 $, $ u_{1}=6 $, $ u_{2}=18 $, $ u_{3}=54 $… les termes augmentent bien.
Raison entre 0 et 1, premier terme positif
Soit $ \left(v_{n}\right) $ la suite géométrique de premier terme $ v_{0}=80 $ et de raison $ q=0{,}5 $.
Étudier les variations de $ \left(v_{n}\right) $.
Étape 1 : $ v_{0}=80 > 0 $ et $ q=0{,}5 $.
Étape 2 : $ 0 < q=0{,}5 < 1 $.
Étape 4 : comme $ v_{0} > 0 $ et $ 0 < q < 1 $, la suite $ \left(v_{n}\right) $ est strictement décroissante.
Vérification : $ v_{0}=80 $, $ v_{1}=40 $, $ v_{2}=20 $, $ v_{3}=10 $… les termes diminuent.
Premier terme négatif
Soit $ \left(w_{n}\right) $ la suite géométrique de premier terme $ w_{0}=-5 $ et de raison $ q=2 $.
Étudier les variations de $ \left(w_{n}\right) $.
Étape 1 : $ w_{0}=-5 < 0 $ et $ q=2 $.
Étape 2 : $ q=2 > 1 $ : avec un premier terme positif, la suite serait croissante.
Étape 3 : mais $ w_{0} < 0 $ : le sens de variation est inversé.
Étape 4 : la suite $ \left(w_{n}\right) $ est strictement décroissante.
Vérification : $ w_{0}=-5 $, $ w_{1}=-10 $, $ w_{2}=-20 $, $ w_{3}=-40 $… les termes diminuent (deviennent de plus en plus négatifs).
Remarque
Méthode alternative : on peut aussi calculer $ u_{n+1}-u_{n} $ et étudier son signe. Pour une suite géométrique, $ u_{n+1}-u_{n}=u_{n}\left(q - 1\right) $. Le signe dépend alors de celui de $ u_{n} $ (qui dépend lui-même de $ u_{0} $) et de celui de $ q - 1 $.
Attention
Ne pas oublier le rôle du signe de $ u_{0} $ : avec $ q=3 $ et $ u_{0}=-1 $, la suite est décroissante (et non croissante).
Le tableau de référence du cours suppose toujours $ u_{0} > 0 $ ; il faut inverser la conclusion si $ u_{0} < 0 $.