Démontrer qu’une suite est géométrique
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Pour démontrer qu'une suite $ \left(u_{n}\right) $ à termes non nuls est géométrique :
- Étape 1 : vérifier que tous les termes de la suite sont non nuls.
- Étape 2 : calculer le rapport $ \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} $ pour $ n $ quelconque.
- Étape 3 : simplifier l'expression jusqu'à obtenir un nombre indépendant de $ n $.
- Étape 4 : conclure : si le rapport vaut une constante $ q $, la suite est géométrique de raison $ q $ et de premier terme $ u_{0} $ (ou $ u_{1} $).
Si la suite est définie par récurrence $ u_{n+1}=q\times u_{n} $, on lit directement la raison sur la relation de récurrence.
Suite définie par une formule explicite
Soit $ \left(u_{n}\right) $ la suite définie pour tout $ n\in \mathbb{N} $ par $ u_{n}=\dfrac{3}{2^{n}} $.
Démontrer que $ \left(u_{n}\right) $ est géométrique et préciser sa raison.
Étape 1 : tous les termes sont strictement positifs car $ 2^{n} > 0 $.
Étape 2 : calculer le rapport.
$ \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{\dfrac{3}{2^{n+1}}}{\dfrac{3}{2^{n}}} $
Étape 3 : simplifier.
$ \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{3}{2^{n+1}}\times \dfrac{2^{n}}{3}=\dfrac{2^{n}}{2\times 2^{n}}=\color{red}{\dfrac{1}{2}}\color{black} $
Étape 4 : le rapport est constant donc $ \left(u_{n}\right) $ est une suite géométrique de raison $ q=\dfrac{1}{2} $ et de premier terme $ u_{0}=3 $.
Suite définie par récurrence linéaire
Soit $ \left(v_{n}\right) $ la suite définie par $ v_{0}=4 $ et, pour tout $ n\in \mathbb{N} $, $ v_{n+1}=\dfrac{3v_{n}}{5} $.
Démontrer que $ \left(v_{n}\right) $ est géométrique.
La relation de récurrence s'écrit directement :
C'est une relation du type $ v_{n+1}=q\times v_{n} $ avec $ q=\dfrac{3}{5} $.
Donc $ \left(v_{n}\right) $ est une suite géométrique de raison $ q=\dfrac{3}{5} $ et de premier terme $ v_{0}=4 $.
Suite construite à partir d'une exponentielle
Soit $ \left(w_{n}\right) $ définie pour tout $ n\in \mathbb{N} $ par $ w_{n}=5\times 7^{n} $.
Démontrer que $ \left(w_{n}\right) $ est géométrique.
Étape 1 : tous les termes sont strictement positifs.
Étape 2 : calculer le rapport.
$ \dfrac{w_{n+1}}{w_{n}}=\dfrac{5\times 7^{n+1}}{5\times 7^{n}} $
Étape 3 : simplifier en utilisant $ 7^{n+1}=7^{n}\times 7 $.
$ \dfrac{w_{n+1}}{w_{n}}=\dfrac{5\times 7^{n}\times 7}{5\times 7^{n}}=\color{red}{7}\color{black} $
Étape 4 : $ \left(w_{n}\right) $ est géométrique de raison $ q=7 $ et de premier terme $ w_{0}=5\times 7^{0}=5 $.
Remarque
Toute suite de la forme $ u_{n}=a\times b^{n} $ avec $ a\neq 0 $ et $ b\neq 0 $ est géométrique de raison $ q=b $ et de premier terme $ u_{0}=a $. C'est un réflexe à acquérir : on lit directement $ q $ sur l'expression.
Attention
Pour conclure qu'une suite est géométrique, il ne suffit pas de vérifier le rapport sur quelques termes : il faut que le calcul soit fait pour $ n $ quelconque.
Vérifier $ \dfrac{u_{1}}{u_{0}}=\dfrac{u_{2}}{u_{1}} $ ne prouve rien : cela donne seulement une conjecture.
De même, le rapport doit être indépendant de $ n $ : si l'on obtient $ \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{n+2}{n+1} $, la suite n'est pas géométrique.