Calculer un terme d’une suite géométrique
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Si $ \left(u_{n}\right) $ est une suite géométrique de raison $ q $ :
- Étape 1 : identifier les données (premier terme, raison, ou deux termes connus).
- Étape 2 : choisir la formule adaptée.
- si $ u_{0} $ et $ q $ sont connus, utiliser $ u_{n}=u_{0}\times q^{n} $
- si un autre terme $ u_{k} $ et $ q $ sont connus, utiliser $ u_{n}=u_{k}\times q^{n - k} $
- Étape 3 : remplacer par les valeurs et calculer la puissance à la calculatrice si nécessaire.
Si la raison $ q $ n'est pas donnée et que l'on connaît $ u_{k} $ et $ u_{n} $ avec $ n > k $, elle se calcule par :
Premier terme et raison connus
Soit $ \left(u_{n}\right) $ la suite géométrique de premier terme $ u_{0}=3 $ et de raison $ q=2 $.
Calculer $ u_{6} $ et $ u_{10} $.
Étape 1 : données : $ u_{0}=3 $ et $ q=2 $.
Étape 2 : utiliser la formule $ u_{n}=u_{0}\times q^{n} $.
Étape 3 : calculer.
$ u_{6}=3\times 2^{6}=3\times 64=192 $
$ u_{10}=3\times 2^{10}=3\times 1\,024=3\,072 $
Raison décimale et terme intermédiaire connu
Soit $ \left(v_{n}\right) $ une suite géométrique de raison $ q=0{,}9 $ telle que $ v_{4}=500 $.
Calculer $ v_{12} $ (arrondir au centième).
Étape 1 : données : $ v_{4}=500 $ et $ q=0{,}9 $.
Étape 2 : utiliser $ v_{n}=v_{k}\times q^{n - k} $ avec $ k=4 $.
Étape 3 : calculer.
$ v_{12}=v_{4}\times q^{12 - 4} $
$ \quad =500\times 0{,}9^{8} $
$ \quad \approx 500\times 0{,}430\,467 $
$ \quad \approx 215{,}23 $
La raison est à calculer
Soit $ \left(u_{n}\right) $ une suite géométrique à termes positifs telle que $ u_{1}=4 $ et $ u_{4}=108 $.
Calculer $ q $ puis $ u_{7} $.
Étape 1 : données : $ u_{1}=4 $ et $ u_{4}=108 $.
Étape 2 : utiliser la relation $ u_{4}=u_{1}\times q^{4 - 1}=u_{1}\times q^{3} $.
$ q^{3}=\dfrac{u_{4}}{u_{1}}=\dfrac{108}{4}=27 $
Comme les termes sont positifs, $ q > 0 $ et $ q=\sqrt[3]{27}=3 $.
Étape 3 : calculer $ u_{7} $.
$ u_{7}=u_{4}\times q^{7 - 4}=108\times 3^{3}=108\times 27=2\,916 $
Remarque
La formule $ u_{n}=u_{0}\times q^{n} $ est un cas particulier de $ u_{n}=u_{k}\times q^{n - k} $ (avec $ k=0 $).
Quand on connaît $ u_{k} $ avec $ k\neq 0 $, mieux vaut utiliser directement la deuxième formule : on évite le calcul intermédiaire de $ u_{0} $.
Attention
Attention aux priorités opératoires : dans $ u_{n}=u_{0}\times q^{n} $, on calcule d'abord $ q^{n} $, puis on multiplie par $ u_{0} $.
Par exemple $ 5\times 2^{3}=5\times 8=40 $ (et non $ 10^{3}=1\,000 $).
À la calculatrice, taper : 5 × 2 ^ 3 (les parenthèses sont inutiles grâce aux priorités).