Calculer la somme des termes d’une suite géométrique
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Pour calculer la somme $ S=u_{p}+u_{p+1}+\dots +u_{n} $ d'une suite géométrique de raison $ q\neq 1 $ :
- Étape 1 : compter le nombre $ N $ de termes additionnés : $ N=n-p+1 $.
- Étape 2 : repérer le premier terme de la somme, noté $ u_{p} $.
- Étape 3 : appliquer la formule.
Cas particulier $ p=0 $ et $ u_{0}=1 $ :
Remarque
Si $ q=1 $, la formule est inutilisable. Mais dans ce cas tous les termes sont égaux : la somme vaut simplement $ N\times u_{p} $.
Somme des puissances de 2
Calculer $ S=1+2+4+8+\dots +2^{10} $.
Étape 1 : les termes vont de $ 2^{0} $ à $ 2^{10} $, soit $ N=11 $ termes.
Étape 2 : premier terme $ =1 $, raison $ q=2 $.
Étape 3 : appliquer la formule.
$ S=1\times \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} $
$ \quad =\dfrac{1 - 2\,048}{-1} $
$ \quad =\dfrac{-2\,047}{-1} $
$ \quad =\color{red}{2\,047}\color{black} $
Somme avec un premier terme différent de 1
Soit $ \left(u_{n}\right) $ la suite géométrique de premier terme $ u_{0}=5 $ et de raison $ q=3 $.
Calculer $ S=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\dots +u_{6} $.
Étape 1 : de $ u_{0} $ à $ u_{6} $, il y a $ N=7 $ termes.
Étape 2 : premier terme $ u_{0}=5 $, raison $ q=3 $.
Étape 3 : appliquer la formule.
$ S=5\times \dfrac{1 - 3^{7}}{1 - 3} $
$ \quad =5\times \dfrac{1 - 2\,187}{-2} $
$ \quad =5\times \dfrac{-2\,186}{-2} $
$ \quad =5\times 1\,093 $
$ \quad =\color{red}{5\,465}\color{black} $
Somme partielle commençant à un rang non nul
Soit $ \left(v_{n}\right) $ la suite géométrique de premier terme $ v_{0}=2 $ et de raison $ q=0{,}5 $.
Calculer $ S=v_{3}+v_{4}+v_{5}+v_{6} $ (donner la valeur exacte puis arrondir au millième).
Étape 1 : de $ v_{3} $ à $ v_{6} $, il y a $ N=6-3+1=4 $ termes.
Étape 2 : le premier terme de la somme est $ v_{3} $.
$ v_{3}=v_{0}\times q^{3}=2\times 0{,}5^{3}=2\times 0{,}125=0{,}25 $
Étape 3 : appliquer la formule avec $ u_{p}=v_{3}=0{,}25 $.
$ S=0{,}25\times \dfrac{1 - 0{,}5^{4}}{1 - 0{,}5} $
$ \quad =0{,}25\times \dfrac{1 - 0{,}062\,5}{0{,}5} $
$ \quad =0{,}25\times \dfrac{0{,}937\,5}{0{,}5} $
$ \quad =0{,}25\times 1{,}875 $
$ \quad =\color{red}{0{,}468\,75}\color{black} $
Remarque
Moyen mnémotechnique : la formule s'écrit aussi
L'exposant de $ q $ dans la formule est égal au nombre de termes de la somme, pas au rang du dernier terme.
Attention
Erreur fréquente : utiliser $ q^{n} $ au lieu de $ q^{N} $ où $ N $ est le nombre de termes.
Pour $ S=u_{0}+u_{1}+\dots +u_{n} $, il y a $ N=n+1 $ termes (et non $ n $) : la formule devient $ u_{0}\times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} $.
Pour une somme partielle $ u_{p}+\dots +u_{n} $, le nombre de termes est $ N=n-p+1 $ (penser à compter aussi le premier terme).