Déterminer la limite d’une suite géométrique
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteMéthode
Pour déterminer la limite d'une suite géométrique $ \left(u_{n}\right) $ de raison $ q\geqslant 0 $ et de premier terme $ u_{0} $ :
- Étape 1 : exprimer $ u_{n} $ sous la forme $ u_{n}=u_{0}\times q^{n} $.
- Étape 2 : déterminer la limite de $ q^{n} $ selon la valeur de $ q $.
- si $ q > 1 $ : $ \lim_{n\rightarrow +\infty } q^{n}=+\infty $
- si $ 0\leqslant q < 1 $ : $ \lim_{n\rightarrow +\infty } q^{n}=0 $
- si $ q=1 $ : $ \lim_{n\rightarrow +\infty } q^{n}=1 $
- Étape 3 : multiplier par $ u_{0} $ en tenant compte de son signe.
Tableau-résumé pour $ u_{n}=u_{0}\times q^{n} $ :
| Valeur de $ q $ | $ u_{0} > 0 $ | $ u_{0} < 0 $ |
|---|---|---|
| $ q > 1 $ | $ +\infty $ | $ -\infty $ |
| $ 0\leqslant q < 1 $ | $ 0 $ | $ 0 $ |
| $ q=1 $ | $ u_{0} $ | $ u_{0} $ |
Raison strictement supérieure à 1
Soit $ \left(u_{n}\right) $ la suite géométrique de premier terme $ u_{0}=4 $ et de raison $ q=1{,}5 $.
Déterminer la limite de $ \left(u_{n}\right) $.
Étape 1 : $ u_{n}=4\times 1{,}5^{n} $.
Étape 2 : $ q=1{,}5 > 1 $ donc $ \lim_{n\rightarrow +\infty } 1{,}5^{n}=+\infty $.
Étape 3 : $ u_{0}=4 > 0 $ donc :
Raison strictement comprise entre 0 et 1
Soit $ \left(v_{n}\right) $ la suite géométrique de premier terme $ v_{0}=12 $ et de raison $ q=\dfrac{2}{3} $.
Déterminer la limite de $ \left(v_{n}\right) $.
Étape 1 : $ v_{n}=12\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} $.
Étape 2 : $ 0 < q=\dfrac{2}{3} < 1 $ donc $ \lim_{n\rightarrow +\infty }\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}=0 $.
Étape 3 : par produit :
La suite $ \left(v_{n}\right) $ est donc convergente vers $ 0 $.
Premier terme négatif et raison supérieure à 1
Soit $ \left(w_{n}\right) $ la suite géométrique de premier terme $ w_{0}=-7 $ et de raison $ q=2 $.
Déterminer la limite de $ \left(w_{n}\right) $.
Étape 1 : $ w_{n}=-7\times 2^{n} $.
Étape 2 : $ q=2 > 1 $ donc $ \lim_{n\rightarrow +\infty } 2^{n}=+\infty $.
Étape 3 : $ w_{0}=-7 < 0 $ donc, par produit d'une limite infinie par un nombre négatif :
Remarque
Les conclusions du programme de Maths Complémentaires se limitent au cas $ q\geqslant 0 $.
Pour reconnaître rapidement le comportement d'une suite géométrique, retenir : « raison plus grande que $ 1 $ : explosion vers l'infini ; raison entre $ 0 $ et $ 1 $ : extinction vers $ 0 $ ».
Attention
Bien comparer $ q $ à $ 1 $ et non à $ 0 $ : par exemple, $ q=0{,}9 $ est positif, mais comme $ 0{,}9 < 1 $, la suite tend vers $ 0 $ (et non vers l'infini).
Penser également à utiliser $ \left|q\right| $ par la pensée : ici $ q\geqslant 0 $, mais la lecture du tableau dépend bien de la position de $ q $ par rapport à $ 1 $.