Étudier une fonction contenant ln
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- Déterminer le domaine de définition $ D_{f} $ : tout ce qui est dans un $ \ln $ doit être strictement positif.
- Calculer les limites aux bornes de $ D_{f} $ (utiliser les croissances comparées si besoin).
- Calculer la dérivée $ f'(x) $ et la simplifier autant que possible (factorisation, mise sur le même dénominateur).
- Étudier le signe de $ f'(x) $ sur $ D_{f} $.
- Dresser le tableau de variation avec les limites aux bornes et les valeurs aux extremums.
- Conclure : variations, extremums, équations $ f(x) = k $ par théorème des valeurs intermédiaires si demandé.
Étude complète d'une fonction
Étudier la fonction $ f $ définie sur $ ]0\,;\,+\infty[ $ par $ f(x) = x - \ln(x) $.
Étape 1 : domaine.
$ f $ est définie sur $ D_{f} = \,]0\,;\,+\infty[ $ (donné).
Étape 2 : limites aux bornes.
En $ 0^{+} $ : $ x \to 0 $ et $ \ln(x) \to -\infty $, donc $ -\ln(x) \to +\infty $. Par somme :
$ \displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = +\infty $
En $ +\infty $ : forme $ \infty - \infty $. On factorise :
$ f(x) = x\left(1 - \dfrac{\ln(x)}{x}\right) $
Or $ \dfrac{\ln(x)}{x} \to 0 $, donc le facteur tend vers $ 1 $. Par produit :
$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $
Étape 3 : dérivée.
$ f $ est dérivable sur $ ]0\,;\,+\infty[ $ comme somme de fonctions dérivables.
$ f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 1}{x} $
Étape 4 : signe de $ f'(x) $.
Sur $ ]0\,;\,+\infty[ $, on a $ x > 0 $. Le signe de $ f'(x) $ est donc celui de $ x - 1 $ :
- $ f'(x) < 0 $ pour $ 0 < x < 1 $
- $ f'(x) = 0 $ pour $ x = 1 $
- $ f'(x) > 0 $ pour $ x > 1 $
Étape 5 : tableau de variation.
La valeur minimale est $ f(1) = 1 - \ln(1) = 1 - 0 = 1 $.
Étape 6 : conclure.
$ f $ admet un minimum global en $ x = 1 $, qui vaut $ 1 $. Pour tout $ x > 0 $, $ f(x) \geqslant 1 > 0 $. En particulier, l'équation $ f(x) = 0 $ n'a aucune solution.
Étude d'une fonction du type ln(u)
Étudier la fonction $ g $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ g(x) = \ln(x^{2} + 1) $.
Étape 1 : domaine.
Pour tout $ x \in \mathbb{R} $, $ x^{2} + 1 \geqslant 1 > 0 $, donc $ D_{g} = \mathbb{R} $.
Étape 2 : dérivée.
On pose $ u(x) = x^{2} + 1 $, $ u'(x) = 2x $. Comme $ u > 0 $ :
$ g'(x) = \dfrac{2x}{x^{2} + 1} $
Étape 3 : signe.
Le dénominateur $ x^{2} + 1 $ est strictement positif, donc le signe de $ g'(x) $ est celui de $ 2x $.
Étape 4 : limites.
En $ \pm\infty $ : $ x^{2} + 1 \to +\infty $, donc $ g(x) \to +\infty $.
Étape 5 : tableau et conclusion.
$ g $ est strictement décroissante sur $ ]-\infty\,;\,0] $, strictement croissante sur $ [0\,;\,+\infty[ $. Le minimum est $ g(0) = \ln(1) = 0 $.
Remarque
Pour étudier le signe de $ f(x) $, il est souvent utile d'écrire $ f(x) = 0 \iff $ une équation contenant $ \ln $, puis d'utiliser les méthodes vues dans la fiche Résoudre une équation contenant ln.
Attention
Lors du calcul d'une limite en $ 0^{+} $ d'une fonction du type $ x\ln(x) $ ou $ x^{n}\ln(x) $, ne pas oublier la croissance comparée $ x\ln(x) \to 0 $. Sans elle, on aboutit à une forme indéterminée non résolue.