Étude de f(x) = (ln x)² − 2 ln(x)

1. La fonction $ x \mapsto \ln(x) $ est dérivable sur $ ]0\,;+\infty[ $, donc $ f $ est dérivable sur ce même intervalle.
   On dérive en utilisant la formule $ \bigl(u^{2}\bigr)^{\prime} = 2u \times u^{\prime} $ avec $ u(x) = \ln(x) $ :
   $ \bigl((\ln x)^{2}\bigr)^{\prime} = 2\ln(x) \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{2\ln(x)}{x} $.
   Et $ \bigl(-2\ln(x)\bigr)^{\prime} = -\dfrac{2}{x} $.
   Donc $ f^{\prime}(x) = \dfrac{2\ln(x)}{x} - \dfrac{2}{x}$ = $\mathbf{\dfrac{2\bigl(\ln(x) - 1\bigr)}{x}}$.

2. Limite en $ 0^{+} $ : on pose $ X = \ln(x) $. Quand $ x \to 0^{+} $, $ X \to -\infty $.
   $ f(x) = X^{2} - 2X = X(X - 2) $.
   Quand $ X \to -\infty $, $ X \to -\infty $ et $ X - 2 \to -\infty $, donc par produit $ X(X - 2) \to +\infty $.
   Donc $ \displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = +\infty $.

   Limite en $ +\infty $ : de même, $ f(x) = \ln(x)\bigl(\ln(x) - 2\bigr) $.
   Quand $ x \to +\infty $, $ \ln(x) \to +\infty $ et $ \ln(x) - 2 \to +\infty $.
   Par produit : $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $.

3. Pour tout $ x > 0 $, $ \dfrac{2}{x} > 0 $. Le signe de $ f^{\prime}(x) $ est donc celui de $ \ln(x) - 1 $.
   $ \ln(x) - 1 = 0 \iff \ln(x) = 1 \iff x = e $.
   $ \ln(x) - 1 < 0 \iff \ln(x) < 1 \iff x < e $ (par stricte croissance de $ \ln $).
   $ \ln(x) - 1 > 0 \iff x > e $.

   • Sur $ ]0\,;e[ $ : $ f^{\prime}(x) < 0 $, donc $ f $ est strictement décroissante.
   • En $ x = e $ : $ f^{\prime}(e) = 0 $.
   • Sur $ ]e\,;+\infty[ $ : $ f^{\prime}(x) > 0 $, donc $ f $ est strictement croissante.

   Le minimum est atteint en $ x = e $ et vaut $ f(e) = 1^{2} - 2 \times 1 = -1 $.

   

4. On pose $ X = \ln(x) $. L'équation devient :
   $ X^{2} - 2X = 0 $
   $ X(X - 2) = 0 $
   $ X = 0 $ ou $ X = 2 $.

   On revient à $ x $ :

   • $ X = 0 \iff \ln(x) = 0 \iff x = 1 $.
   • $ X = 2 \iff \ln(x) = 2 \iff x = e^{2} $.

   Les deux solutions sont strictement positives, donc :
   $ S$ = $\mathbf{\{1\,;\,e^{2}\}}$.

5. Avec le même changement de variable $ X = \ln(x) $, l'inéquation devient :
   $ X^{2} - 2X \leqslant 0 $
   $ X(X - 2) \leqslant 0 $.

   Le trinôme $ X(X - 2) $ est négatif entre ses racines $ 0 $ et $ 2 $, donc :
   $ X(X - 2) \leqslant 0 \iff 0 \leqslant X \leqslant 2 $.

   On revient à $ x $ : $ 0 \leqslant \ln(x) \leqslant 2 $.
   Comme $ \ln $ est strictement croissante, $ \ln(x) \geqslant 0 \iff x \geqslant 1 $ et $ \ln(x) \leqslant 2 \iff x \leqslant e^{2} $.

   $ S$ = $\mathbf{[1\,;\,e^{2}]}$.

→ Pour réviser : Étudier une fonction contenant ln