Résoudre une équation contenant ln
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- Déterminer le domaine de validité : chaque expression écrite à l'intérieur d'un logarithme doit être strictement positive. On résout les inéquations correspondantes pour trouver l'ensemble des valeurs autorisées.
- Transformer l'équation : regrouper tous les logarithmes d'un côté à l'aide des propriétés algébriques pour aboutir à l'une des formes ci-dessous.
Résoudre la forme obtenue :
- $ \ln(A) = \ln(B) \iff A = B $ (par injectivité de $ \ln $)
- $ \ln(A) = k \iff A = e^{k} $ (forme exponentielle)
- Vérifier : ne conserver que les solutions appartenant au domaine de validité déterminé à l'étape 1.
Attention
Une étape oubliée fréquemment : si une solution candidate n'appartient pas au domaine de validité, elle doit être rejetée. C'est l'erreur la plus courante dans ce type d'équation.
Équation avec un seul logarithme
Résoudre $ \ln(2x - 3) = 1 $.
Étape 1 : domaine de validité.
On doit avoir $ 2x - 3 > 0 $, c'est-à-dire $ x > \dfrac{3}{2} $. Le domaine est $ D = \left]\dfrac{3}{2}\,;\,+\infty\right[ $.
Étape 2 : passer à la forme exponentielle.
$ \ln(2x - 3) = 1 \iff 2x - 3 = e^{1} $
$ 2x = e + 3 $
$ x = \dfrac{e + 3}{2} $
Étape 3 : vérifier que la solution est dans $ D $.
$ \dfrac{e + 3}{2} \approx \dfrac{2{,}72 + 3}{2} \approx 2{,}86 > \dfrac{3}{2} $, donc la solution est valide.
Équation avec deux logarithmes
Résoudre $ \ln(x + 1) + \ln(x - 2) = \ln(4) $.
Étape 1 : domaine de validité.
On doit avoir $ x + 1 > 0 $ et $ x - 2 > 0 $, soit $ x > 2 $. Le domaine est $ D = ]2\,;\,+\infty[ $.
Étape 2 : regrouper les logarithmes.
$ \ln(x + 1) + \ln(x - 2) = \ln\bigl((x+1)(x-2)\bigr) $
L'équation devient :
$ \ln\bigl((x+1)(x-2)\bigr) = \ln(4) $
Étape 3 : utiliser l'injectivité de $ \ln $.
$ (x + 1)(x - 2) = 4 $
$ x^{2} - x - 2 = 4 $
$ x^{2} - x - 6 = 0 $
Étape 4 : résoudre l'équation du second degré.
Discriminant : $ \Delta = 1 + 24 = 25 $, donc $ \sqrt{\Delta} = 5 $.
$ x_{1} = \dfrac{1 - 5}{2} = -2 \qquad x_{2} = \dfrac{1 + 5}{2} = 3 $
Étape 5 : confronter au domaine.
$ x_{1} = -2 \notin D $, donc cette valeur est rejetée. $ x_{2} = 3 \in D $, donc elle convient.
Équation se ramenant à un produit
Résoudre $ (\ln x)^{2} - 3\ln x + 2 = 0 $ pour $ x > 0 $.
Étape 1 : domaine de validité.
L'équation a un sens dès que $ x > 0 $, donc $ D = ]0\,;\,+\infty[ $.
Étape 2 : poser $ X = \ln x $.
L'équation devient $ X^{2} - 3X + 2 = 0 $.
Étape 3 : résoudre en $ X $.
$ X^{2} - 3X + 2 = (X - 1)(X - 2) = 0 $, d'où $ X = 1 $ ou $ X = 2 $.
Étape 4 : revenir à $ x $.
$ \ln x = 1 \iff x = e $
$ \ln x = 2 \iff x = e^{2} $
Les deux valeurs appartiennent à $ D $.
Remarque
Le changement de variable $ X = \ln x $ est très utile lorsqu'une expression se présente comme une équation polynomiale en $ \ln x $. Une fois les valeurs de $ X $ obtenues, on revient à $ x $ par la relation $ x = e^{X} $.