Variations de la fonction x – ln(x)

1. La fonction $ f $ est dérivable sur $ ]0\,;+\infty[ $ comme différence de deux fonctions dérivables.
   $ f^{\prime}(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{x} - \dfrac{1}{x}$ = $\mathbf{\dfrac{x - 1}{x}}$.

2. Pour tout $ x > 0 $, le dénominateur $ x $ est strictement positif. Le signe de $ f^{\prime}(x) $ est donc celui de $ x - 1 $.

   • Pour $ 0 < x < 1 $ : $ x - 1 < 0 $, donc $ f^{\prime}(x) < 0 $.
   • Pour $ x = 1 $ : $ f^{\prime}(1) = 0 $.
   • Pour $ x > 1 $ : $ x - 1 > 0 $, donc $ f^{\prime}(x) > 0 $.

3. Limite en $ 0^{+} $ : $ \displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x = 0 $ et $ \displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} \ln(x) = -\infty $, donc $ \displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} \bigl(-\ln(x)\bigr) = +\infty $.
   Par somme : $ \displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = +\infty $.

   Limite en $ +\infty $ : pour $ x > 0 $, on factorise par $ x $ : $ f(x) = x\!\left(1 - \dfrac{\ln(x)}{x}\right) $.
   D'après les croissances comparées, $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0 $, donc $ 1 - \dfrac{\ln(x)}{x} \to 1 $.
   Comme $ x \to +\infty $, par produit : $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $.

4. La fonction $ f $ est strictement décroissante sur $ ]0\,;1] $ et strictement croissante sur $ [1\,;+\infty[ $.
   Le minimum est atteint en $ x = 1 $ et vaut $ f(1) = 1 - \ln(1) = 1 - 0 = 1 $.

   
5. D'après le tableau de variations, $ f $ admet un minimum global en $ x = 1 $ qui vaut $ 1 $.
   Donc pour tout $ x > 0 $ : $ f(x) \geqslant 1 $, c'est-à-dire $ x - \ln(x) \geqslant 1 $.
   On en déduit : $\mathbf{\ln(x) \leqslant x - 1}$ pour tout $ x > 0 $.

→ Pour réviser : Étudier une fonction contenant ln