Résoudre une équation du second degré
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Pour résoudre l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ (avec $a \neq 0$) :
- Étape 1 : Identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$
- Étape 2 : Calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$
Étape 3 : Conclure selon le signe de $\Delta$ :
- si $\Delta < 0$ : aucune solution réelle
- si $\Delta = 0$ : une solution unique $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$
- si $\Delta > 0$ : deux solutions $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
Cas où Δ > 0 : deux solutions
Résoudre $2x^2 - 5x + 2 = 0$.
Étape 1 : On a $a = 2$, $b = -5$ et $c = 2$.
Étape 2 : On calcule $\Delta$ :
Étape 3 : $\Delta > 0$ donc l'équation admet deux solutions :
L'ensemble des solutions est $S = \left\{\dfrac{1}{2}\,;\,2\right\}$.
Cas où Δ = 0 : une solution double
Résoudre $x^2 + 4x + 4 = 0$.
Étape 1 : $a = 1$, $b = 4$, $c = 4$.
Étape 2 : $\Delta = 4^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0$.
Étape 3 : $\Delta = 0$ donc l'équation admet une solution unique :
L'ensemble des solutions est $S = \{-2\}$.
Cas où Δ < 0 : pas de solution
Résoudre $x^2 + x + 1 = 0$.
Étape 1 : $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$.
Étape 2 : $\Delta = 1 - 4 = -3$.
Étape 3 : $\Delta < 0$ donc l'équation n'admet aucune solution réelle : $S = \varnothing$.
Remarque
Avant de calculer $\Delta$, vérifier si l'équation possède une racine évidente (souvent $0$, $1$ ou $-1$). Si oui, la propriété somme/produit permet de trouver la seconde racine sans calcul de discriminant.
Attention
Le signe des coefficients compte. Pour $-3x^2 + 2x + 5 = 0$, on a $a = -3$, $b = 2$ et $c = 5$ (et non $a = 3$). Bien recopier les signes avant tout calcul.