Formes canonique et factorisée

Durée estimée

10 minutes

Difficulté

On considère la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=x^{2}+2x - 8 $

Donner la forme canonique de $ f\left(x\right) $.
Factoriser $ f\left(x\right) $.
Parmi les formes développée, canonique et factorisée, choisissez la plus adaptée pour répondre aux questions suivantes :
1. Calculer $ f\left(0\right) $.
2. Résoudre l'équation $ f\left(x\right)=0 $.
3. Déterminer le sommet de la parabole d'équation $ y=x^{2}+2x - 8 $.

Corrigé

$ x^{2}+2x $ est le début de l'identité remarquable $ x^{2}+2x+1=\left(x+1\right)^{2} $

On peut donc écrire :

$ f\left(x\right)=x^{2}+2x - 8=x^{2}+2x+1 - 9=\left(x+1\right)^{2} - 9 $

Cette dernière expression est la forme canonique de $ f $.

Remarque : On peut également trouver ce résultat grâce à la formule $ f\left(x\right)=a\left(x - \alpha \right)^{2}+\beta $ (voir Forme canonique).
$ f\left(x\right)=\left(x+1\right)^{2} - 9=\left(x+1\right)^{2} - 3^{2} $

On utilise alors l'identité remarquable :$ a^{2} - b^{2}=\left(a+b\right)\left(a - b\right) $ :

$ f\left(x\right)=\left[\left(x+1\right)+3\right]\left[\left(x+1\right) - 3\right]=\left(x+4\right)\left(x - 2\right) $
1. La forme développée est ici la plus adaptée :
  
  $ f\left(0\right)=0^{2}+2\times 0 - 8 $ = $\mathbf{- 8}$
2. La forme factorisée est la plus adaptée ; elle conduit à une équation produit :
  
  $ \left(x+4\right)\left(x - 2\right)=0 \Leftrightarrow x+4=0 $ ou $ x - 2=0 $
  
  Les solutions sont donc $ x= - 4 $ ou $ x=2 $.
3. La forme canonique est la plus appropriée ici :
  
  $ \left(x+1\right)^{2} $ est toujours positif ou nul et s'annule pour $ x= - 1 $.
  
  Le minimum de $ f\left(x\right)=\left(x+1\right)^{2} - 9 $ est donc atteint pour $ x= - 1 $ et vaut $ f\left( - 1\right)= - 9 $.
  
  Le sommet de la parabole d'équation $ y=x^{2}+2x - 8 $ est donc le point $\mathbf{A\left( - 1~;~ - 9\right)}$.