Equation du second degré avec paramètre

Corrigé

Le discriminant du polynôme x^{2}-mx+\frac{1}{4}=0 est
\Delta =\left(-m\right)^{2}-4\times 1\times \frac{1}{4}
\Delta =m^{2}-1
\Delta =\left(m-1\right)\left(m+1\right)
\Delta est un polynôme du second degré en m. Ses racines sont -1 et 1.
\Delta est strictement positif ( « du signe de a » ) sur \left]-\infty ;-1\right[ et sur \left]1;+\infty \right[
\Delta est strictement négatif ( « du signe opposé de a » ) sur \left]-1;1\right[
Donc :

• si m < -1 ou m > 1 : l'équation (E) possède deux solutions :
  x_{1}=\frac{m+\sqrt{m^{2}-1}}{2} et x_{2}=\frac{m-\sqrt{m^{2}-1}}{2}
   
• si -1 < m < 1 : l'équation (E) ne possède aucune solution
   
• si m=-1 ou m=1 : l'équation (E) ne possède une unique solution:
  x_{0}=\frac{m}{2}