Une équation du troisième degré
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Soit la fonction polynôme $ f $ définie par :
$ f\left(x\right)=x^{3} - 4x+3 $
- Calculer $ f\left(1\right) $.
- Déterminer les réels $ a $ et $ b $ tels que, pour tout réel $ x $ : $ f\left(x\right)=\left(x - 1\right)\left(x^{2}+ax+b\right) $
- En déduire les racines de $ f $.
Corrigé
- $ f\left(1\right)=1^{3} - 4\times 1+3=1 - 4+3=0 $
- $ \left(x - 1\right)\left(x^{2}+ax+b\right)=x^{3}+ax^{2}+bx - x^{2} - ax - b $
On regroupe suivant les puissances de $ x $ :
$ \left(x - 1\right)\left(x^{2}+ax+b\right)=x^{3}+ax^{2} - x^{2}+bx - ax - b=x^{3}+\left(a - 1\right)x^{2}+\left(b - a\right)x - b $
Ce polynôme est identique au polynôme $ f $ si et seulement si il a les mêmes coefficients, c'est à dire :
$ \left\{ \begin{matrix} a - 1=0 \\ b - a= - 4 \\ - b=3 \end{matrix}\right. $
ce qui donne $ b= - 3 $ et $ a=1 $
On a donc $ f\left(x\right)=\left(x - 1\right)\left(x^{2}+x - 3\right) $ Trouver les racines de $ f $, c'est résoudre l'équation $ f\left(x\right)=0 $.
$ \left(x - 1\right)\left(x^{2}+x - 3\right)=0 $ est une équation « produit nul » :
$ \left(x - 1\right)\left(x^{2}+x - 3\right)=0 \Leftrightarrow x - 1=0 $ ou $ x^{2}+x - 3=0 $
La première équation a pour solution $ x=1 $ (ce qui confirme la réponse de la question 1.). Pour la seconde, on calcule le discriminant :
$ \Delta =1^{2} - 4\times 1\times \left( - 3\right)=1+12=13 $
Comme $ \Delta > 0 $, l'équation $ x^{2}+x - 3=0 $ admet deux solutions réelles distinctes :
$ x_{1} = \dfrac{ - 1+\sqrt{13}}{2} $ et $ x_{2} = \dfrac{ - 1 - \sqrt{13}}{2} $
$ f $ admet donc trois racines : $ 1 $, $ \dfrac{ - 1+\sqrt{13}}{2} $ et $ \dfrac{ - 1 - \sqrt{13}}{2} $.