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Polynômes et équations du second degré Exercices

Recherche du coût minimum

Durée estimée
20 minutes
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Objectifs travaillés

Le coût total, en euros, pour la fabrication d'un produit est donné par :

$ C\left(x\right)=0{,}01x^{2}+0{,}4x+9 $ avec $ x \in \left[0;100\right] $

où $ x $ est la quantité produite.

On se limite a une production de moins de 100 produits.

Le prix de vente unitaire est de 1{,}15 euros

  1. Montrer que la fonction coût est croissante sur $ \left[0;100\right] $.

    Pour quelle quantité le coût de production dépasse les 86 euros ?

  2. Exprimer en fonction de la quantité $ x $,

    1. la fonction recette $ R\left(x\right) $
    2. la fonction bénéfice $ B\left(x\right) $
  3. Étudier le sens de la variation de la fonction $ B $. En déduire la ou les quantités à produire pour réaliser un bénéfice maximal.
  4. Étudier le signe de $ B\left(x\right) $. Pour quelles quantités produites est-on bénéficiaire ?

  5. Le but de cette question est de montrer que le coût moyen minimum est atteint pour une production de 30 objets.

    1. Calculer $ C\left(30\right) $, en déduire le coût moyen de production pour cette quantité.
    2. Étudier le signe de $ C\left(x\right) - x $. En déduire que $ C\left(x\right) \geqslant x $ et résoudre l'équation : $ C\left(x\right)=x $
    3. Quel est le coût moyen de production minimum ?

Corrigé

  1. Le coefficient de $ x^{2} $ dans le polynôme $ C $ est $ a=0{,}01 > 0 $. $ C $ admet donc un minimum pour

    $ x_{0}= - \dfrac{b}{2a}= - \dfrac{0{,}4}{2\times 0{,}01}= - 20 $.

    La fonction $ x \mapsto 0{,}01x^{2}+0{,}4x+9 $ est donc strictement croissante sur $ \left[ - 20 ; +\infty \right[ $ et par conséquent elle est strictement croissante sur $ \left[0 ; 100\right] $. Le coût de production dépasse les 86 euros lorsque :

    $ 0{,}01x^{2}+0{,}4x+9 > 86 $

    $ 0{,}01x^{2}+0{,}4x - 77 > 0 $

    $ \Delta = b^{2} - 4ac = 0{,}4^{2} - 4\times 0{,}01\times \left( - 77\right) = 3{,}24 $

    $ \sqrt{\Delta }=1{,}8 $

    $ x_{1} = \dfrac{ - b+\sqrt{\Delta }}{2a} = \dfrac{ - 0{,}4+1{,}8}{2\times 0{,}01} = 70 $

    $ x_{2} = \dfrac{ - b - \sqrt{\Delta }}{2a} = \dfrac{ - 0{,}4 - 1{,}8}{2\times 0{,}01} = - 110 $

    Donc $ 0{,}01x^{2}+0{,}4x - 77 > 0 $ si et seulement si $ x > 70 $ (ou $ x < - 110 $ mais ici cette condition n'a pas de sens car $ x $ est une quantité positive) Le coût de production dépasse les 86 euros lorsque la quantité produite est supérieure à 70.
    1. La recette est de 1{,}15 euros par produit vendu. Donc :

      $ R\left(x\right)=1{,}15x $
    2. Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût de fabrication :

      $ B\left(x\right)=1{,}15x - \left(0{,}01x^{2}+0{,}4x+9\right)= - 0{,}01x^{2}+0{,}75x - 9 $
  3. La fonction $ B $ est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient de $ x^{2} $ est strictement négatif. $ B $ admet donc un maximum pour $ x=\dfrac{ - b}{2a}=37{,}5 $ . $ B $ est croissante pour $ x < 37{,}5 $ et décroissante pour $ x > 37{,}5 $ Le bénéfice est maximum pour une quantité produite égale à 37 ou 38 unités.
  4. Recherchons les racines de $ B $ :

    Le discriminant vaut :

    $ \Delta =b^{2} - 4ac = 0{,}75^{2} - 4 \times \left( - 0{,}01\right) \times \left( - 9\right) = 0{,}2025 $

    $ \sqrt{\Delta } = \sqrt{0{,}2025} = 0{,}45 $

    Les racines sont :

    $ x_{1} = \dfrac{ - b+\sqrt{\Delta }}{2a} = \dfrac{ - 0{,}75+0{,}45}{2\times \left( - 0{,}01\right)} = 15 $

    $ x_{2} = \dfrac{ - b - \sqrt{\Delta }}{2a} = \dfrac{ - 0{,}75 - 0{,}45}{2\times \left( - 0{,}01\right)} = 60 $

    Le coefficient de $ x^{2} $ étant strictement négatif, $ B $ est positif (du signe opposé de a) entre les racines, c'est à dire qu'on est bénéficiaire lorsque la quantité produite est comprise entre 15 et 60 unités.

    1. Le coût moyen est défini par :

      $ C_{m}=\dfrac{C\left(x\right)}{x} $ pour $\mathbf{x > 0}$.

      Calculons d'abord le coût total pour une production de 30 objets :

      $ C\left(30\right)=0{,}01\times 30^{2}+0{,}4\times 30+9= 30 $

      donc :

      $ C_{m}\left(30\right)=\dfrac{30}{30}=1 $

    2. $ C\left(x\right) - x=0{,}01x^{2}+0{,}4x+9 - x=0{,}01x^{2} - 0{,}6x+9 $

      On utilise l'identité remarquable $ a^{2} - 2ab+b^{2}=\left(a - b\right)^{2} $ :

      $ C\left(x\right) - x=\left(0{,}1x - 3\right)^{2} $

      $ C\left(x\right) - x $ est un carré il est donc positif ou nul pour tout réel $ x $.

      $ C\left(x\right) - x\geqslant 0 $ entraine $ C\left(x\right)\geqslant x $ pour tout $ x $.

      $ C\left(x\right) - x=0 \Leftrightarrow \left(0{,}1x - 3\right)^{2}=0 \Leftrightarrow 0{,}1x - 3=0 \Leftrightarrow x=30 $
    3. En divisant chaque membre de l'inégalité $ C\left(x\right)\geqslant x $ par $ x $ (qui est strictement positif) on obtient :

      $ \dfrac{C\left(x\right)}{x}\geqslant 1 $

      Le coût moyen de production est donc supérieur ou égal à 1 euro, quelque soit $ x $. D'après la question a., ce coût est égal à 1 euro pour $ x=30 $. On obtient donc un coût minimum de 1 euro pour une production de 30 unités.