Équations du second degré
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Résoudre les équations :
- $ x^{2} - x - 6=0 $
- $ x^{2}+x+1=0 $
- $ - x^{2}+6x - 9=0 $
- $ 2x^{2}+x - 4=0 $
Corrigé
$ x^{2} - x - 6 = 0 $
Il s'agit d'une équation du second degré du type $ ax^{2} + bx + c = 0 $ avec $ a = 1 $, $ b = -1 $ et $ c = -6 $.
Calculons le discriminant :
$ \Delta = b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4 \times 1 \times (-6) = 1 + 24 = 25 $Le discriminant est positif ($ \Delta > 0 $), l'équation admet donc deux solutions réelles distinctes :
$ x_{1} = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1 - \sqrt{25}}{2} = \dfrac{1 - 5}{2} = -2 $$ x_{2} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1 + \sqrt{25}}{2} = \dfrac{1 + 5}{2} = 3 $L'ensemble des solutions est $\mathbf{S = \{-2~;~3\}}$.
$ x^{2} + x + 1 = 0 $
Ici, $ a = 1 $, $ b = 1 $ et $ c = 1 $.
Calculons le discriminant :
$ \Delta = b^{2} - 4ac = 1^{2} - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3 $Le discriminant est négatif ($ \Delta < 0 $), l'équation n'admet donc aucune solution réelle.
L'ensemble des solutions est vide : $\mathbf{S = \emptyset}$.
$ -x^{2} + 6x - 9 = 0 $
Ici, $ a = -1 $, $ b = 6 $ et $ c = -9 $.
Calculons le discriminant :
$ \Delta = b^{2} - 4ac = 6^{2} - 4 \times (-1) \times (-9) = 36 - 36 = 0 $Le discriminant est nul ($ \Delta = 0 $), l'équation admet donc une unique solution réelle double :
$ x_{0} = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-6}{2 \times (-1)} = \dfrac{-6}{-2} = 3 $L'ensemble des solutions est $\mathbf{S = \{3\}}$.
$ 2x^{2} + x - 4 = 0 $
Ici, $ a = 2 $, $ b = 1 $ et $ c = -4 $.
Calculons le discriminant :
$ \Delta = b^{2} - 4ac = 1^{2} - 4 \times 2 \times (-4) = 1 + 32 = 33 $Le discriminant est positif ($ \Delta > 0 $), l'équation admet donc deux solutions réelles distinctes :
$ x_{1} = \dfrac{-1 - \sqrt{33}}{2 \times 2} = \dfrac{-1 - \sqrt{33}}{4} $$ x_{2} = \dfrac{-1 + \sqrt{33}}{2 \times 2} = \dfrac{-1 + \sqrt{33}}{4} $L'ensemble des solutions est $\mathbf{S = \left\{ \dfrac{-1 - \sqrt{33}}{4}~;~\dfrac{-1 + \sqrt{33}}{4} \right\}}$.