Utiliser un ajustement pour interpoler ou extrapoler
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Soit un ajustement $ y=f(x) $ obtenu à partir d'un nuage dont les abscisses sont comprises entre $ x_{\min} $ et $ x_{\max} $.
- L'interpolation consiste à estimer $ y $ pour une valeur de $ x $ dans $ [x_{\min}\,;x_{\max}] $.
- L'extrapolation consiste à estimer $ y $ pour une valeur de $ x $ hors de $ [x_{\min}\,;x_{\max}] $.
Pour utiliser un ajustement à des fins de prévision :
- Étape 1 : repérer la plage des données observées $ [x_{\min}\,;x_{\max}] $ et la valeur $ x_{0} $ pour laquelle on veut estimer $ y $.
- Étape 2 : décider s'il s'agit d'une interpolation ou d'une extrapolation.
- Étape 3 : remplacer $ x $ par $ x_{0} $ dans l'équation d'ajustement et calculer la valeur estimée $ y_{0} $.
- Étape 4 : commenter la fiabilité : très fiable en interpolation si $ |r| $ est proche de $ 1 $, plus prudente en extrapolation, surtout loin de la plage observée.
Remarque
L'extrapolation suppose que la tendance observée se prolonge au-delà des données. Cette hypothèse est rarement vérifiée à long terme : un modèle exponentiel de croissance de population finit par donner des effectifs absurdes ; un modèle affine de prix peut prédire un prix négatif. Toujours discuter la pertinence de l'extrapolation dans le contexte de l'énoncé.
Interpolation avec un ajustement affine
Une étude relie le nombre $ x $ d'années de service d'un employé à son salaire mensuel $ y $ (en milliers d'euros). Sur les données observées entre $ x=2 $ et $ x=15 $ ans, la calculatrice donne :
Estimer le salaire d'un employé ayant $ 10 $ ans d'ancienneté.
Étape 1 : $ x_{\min}=2 $, $ x_{\max}=15 $ et $ x_{0}=10 $.
Étape 2 : $ x_{0}=10 $ est dans $ [2\,;15] $ : il s'agit d'une interpolation.
Étape 3 : on remplace $ x $ par $ 10 $ dans l'équation :
Étape 4 : on a $ |r|\approx 0{,}98 > 0{,}95 $ : l'ajustement est très pertinent et l'interpolation est fiable. Le modèle estime le salaire à environ $ 2\,600 $ € par mois.
Extrapolation à manier avec prudence
À partir des mêmes données, estimer le salaire d'un employé ayant $ 30 $ ans d'ancienneté.
Étape 1 : $ x_{0}=30 $.
Étape 2 : $ x_{0}=30 > x_{\max}=15 $ : il s'agit d'une extrapolation.
Étape 3 : application de l'équation :
Étape 4 : le modèle prédit un salaire de $ 4\,200 $ €, mais $ x_{0}=30 $ est très éloigné des données observées. Rien ne garantit que la progression du salaire reste linéaire au-delà de $ 15 $ ans (paliers, plafonnement, retraites). Cette estimation doit être considérée avec prudence et n'a qu'une valeur indicative.
Interpolation avec un modèle non affine
La population $ y $ d'une ville (en milliers d'habitants) entre $ 2010 $ et $ 2024 $ a été modélisée par :
Estimer la population en $ 2018 $.
Étape 1 : $ x_{0}=2018-2010=8 $, qui appartient à $ [0\,;14] $.
Étape 2 : il s'agit d'une interpolation.
Étape 3 : on remplace $ x $ par $ 8 $ :
À la calculatrice :
Étape 4 : le modèle prédit environ $ 15\,300 $ habitants en $ 2018 $. Cette estimation est cohérente puisqu'on reste dans la plage des données ; elle aurait été beaucoup moins fiable pour $ 2050 $.
Attention
Pièges fréquents :
- Appliquer le modèle sans vérifier si l'on est en interpolation ou en extrapolation.
- Conclure une extrapolation comme si elle était aussi fiable qu'une interpolation : préciser la prudence dans la rédaction.
- Oublier de prendre en compte le coefficient de corrélation $ r $ : un mauvais ajustement rend toute prévision peu fiable, même en interpolation.
- Confondre le rôle de $ x $ et $ y $ : on prévoit $ y $ à partir de $ x $, jamais l'inverse avec la même droite des moindres carrés.