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Statistique à deux variables Exercices

Ajustement exponentiel — culture bactérienne

Durée estimée
15 minutes
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Objectifs travaillés

Dans un laboratoire, on observe la croissance d'une culture bactérienne. Le tableau ci-dessous donne, pour chaque heure écoulée depuis le début de l'expérience, la population $ N $ (en millions de bactéries) en fonction du temps $ t $ (en heures).

$ t_{i} $ (en h) $ 0 $ $ 1 $ $ 2 $ $ 3 $ $ 4 $ $ 5 $
$ N_{i} $ (en millions) $ 200 $ $ 320 $ $ 510 $ $ 820 $ $ 1\,310 $ $ 2\,100 $

On souhaite ajuster la population $ N $ par un modèle exponentiel de la forme $ N=A\,e^{kt} $.

  1. Justifier qu'un ajustement affine direct de $ N $ en fonction de $ t $ ne semble pas adapté.

  2. On pose $ z=\ln(N) $. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs $ z_{i} $ au centième.

    $ t_{i} $ $ 0 $ $ 1 $ $ 2 $ $ 3 $ $ 4 $ $ 5 $
    $ z_{i}=\ln(N_{i}) $            
  3. À l'aide de la calculatrice, on trouve pour la régression affine $ z=at+b $ : $ a\approx 0{,}471 $ et $ b\approx 5{,}297 $, avec $ r\approx 0{,}9999 $. Interpréter la valeur de $ r $ et en déduire les valeurs approchées (au centième) de $ k $ et $ A $.
  4. Donner l'expression de $ N $ en fonction de $ t $.
  5. Estimer la population de bactéries au bout de $ 7 $ heures. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?

Corrigé

  1. Les valeurs de $ N $ croissent de plus en plus vite : entre $ t=0 $ et $ t=1 $, $ N $ augmente de $ 120 $ ; entre $ t=4 $ et $ t=5 $, $ N $ augmente de $ 790 $. La croissance n'est pas régulière (les écarts ne sont pas constants), donc un modèle affine n'est pas adapté. La forme du nuage suggère plutôt une croissance exponentielle.

  2. On calcule $ z_{i}=\ln(N_{i}) $ pour chaque valeur :

    $ \ln(200)\approx 5{,}30,\ \ln(320)\approx 5{,}77,\ \ln(510)\approx 6{,}23 $
    $ \ln(820)\approx 6{,}71,\ \ln(1\,310)\approx 7{,}18,\ \ln(2\,100)\approx 7{,}65 $
    $ t_{i} $ $ 0 $ $ 1 $ $ 2 $ $ 3 $ $ 4 $ $ 5 $
    $ z_{i} $ $ 5{,}30 $ $ 5{,}77 $ $ 6{,}23 $ $ 6{,}71 $ $ 7{,}18 $ $ 7{,}65 $

    Les valeurs de $ z $ progressent maintenant de manière quasi régulière (environ $ +0{,}47 $ par heure), ce qui confirme l'intérêt du changement de variable.

  3. Le coefficient $ r\approx 0{,}9999 $ est très proche de $ 1 $ : les points $ (t_{i}\,;z_{i}) $ sont quasiment alignés, l'ajustement affine de $ z $ en $ t $ est excellent.

    Par identification avec $ z=kt+\ln(A) $ :

    $ k\approx 0{,}47\quad \text{et}\quad \ln(A)\approx 5{,}30 $

    D'où $ A\approx e^{5{,}30}\approx 200{,}34 $, soit $\mathbf{A\approx 200{,}34}$ (millions).

  4. On en déduit l'expression de $ N $ :

    $\mathbf{N\approx 200{,}34\,e^{0{,}47\,t}}$

  5. Pour $ t=7 $ :

    $ N\approx 200{,}34\times e^{0{,}47\times 7}=200{,}34\times e^{3{,}29}\approx 200{,}34\times 26{,}84\approx 5\,377 $

    La population estimée est d'environ $ 5\,377 $ millions de bactéries.

    Comme $ 7>5 $, la valeur sort de la plage observée $ [0\,;5] $ : il s'agit d'une extrapolation. Cette estimation est à manier avec prudence, car rien ne garantit que la croissance exponentielle se poursuive au-delà des conditions de l'expérience (saturation du milieu, épuisement des nutriments…).

→ Pour réviser : Réaliser un ajustement par changement de variable