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Statistique à deux variables Exercices

Corrélation — révisions et notes

Durée estimée
10 minutes
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Objectifs travaillés

Dans une classe de Terminale, on a relevé pour six élèves le temps $ t $ (en heures) consacré à la préparation d'un devoir de mathématiques et la note $ n $ (sur $ 20 $) obtenue.

$ t_{i} $ (en h) $ 2 $ $ 3 $ $ 4 $ $ 5 $ $ 7 $ $ 9 $
$ n_{i} $ (sur 20) $ 8 $ $ 11 $ $ 12 $ $ 14 $ $ 17 $ $ 18 $
  1. Calculer les coordonnées du point moyen $ G $ du nuage (arrondir au centième si besoin).
  2. À la calculatrice, on obtient pour la droite des moindres carrés $ n=at+b $ : $ a\approx 1{,}41 $ et $ b\approx 6{,}27 $, avec un coefficient de corrélation linéaire $ r\approx 0{,}975 $. Donner l'équation de la droite et interpréter la valeur de $ r $.
  3. Estimer la note d'un élève qui aurait révisé pendant $ 8 $ heures.
  4. D'après ce modèle, à partir de quelle valeur de $ t $ la note prédite dépasserait-elle $ 20 $ sur $ 20 $ ? Que peut-on en conclure sur la validité du modèle ?

Corrigé

  1. La série comporte $ n=6 $ couples.

    $ \bar{t}=\dfrac{2+3+4+5+7+9}{6}=\dfrac{30}{6}=5 $
    $ \bar{n}=\dfrac{8+11+12+14+17+18}{6}=\dfrac{80}{6}\approx 13{,}33 $

    Le point moyen est $\mathbf{G(5\,;\,13{,}33)}$.

  2. L'équation de la droite des moindres carrés est :

    $\mathbf{n=1{,}41\,t+6{,}27}$

    Le coefficient de corrélation $ r\approx 0{,}975 $ est très proche de $ 1 $, ce qui montre que les points du nuage sont quasiment alignés et que l'ajustement affine est pertinent. De plus, $ r>0 $ : la note tend bien à croître avec le temps de révision.

  3. On remplace $ t $ par $ 8 $ :

    $ n=1{,}41\times 8+6{,}27=11{,}28+6{,}27=17{,}55 $

    Un élève qui aurait révisé $ 8 $ heures obtiendrait, d'après le modèle, une note d'environ $ 17{,}5 $ sur $ 20 $.

  4. On résout :

    $ 1{,}41\,t+6{,}27>20\iff 1{,}41\,t>13{,}73\iff t>\dfrac{13{,}73}{1{,}41}\approx 9{,}74 $

    D'après le modèle, la note prédite dépasse $ 20 $ pour $ t>9{,}74 $ h.

    Or une note sur $ 20 $ ne peut, par construction, jamais dépasser $ 20 $. Le modèle n'est donc pas valable pour des temps de révision élevés : il s'agit d'une extrapolation hors de la plage observée ($ t\in [2\,;9] $), à manier avec prudence.

→ Pour réviser : Déterminer l'équation de la droite des moindres carrés