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Statistique à deux variables Exercices

Synthèse — concentration d’un médicament dans le sang

Durée estimée
25 minutes
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Objectifs travaillés

Une étude pharmacologique mesure la concentration $ C $ (en mg/L) d'un médicament dans le sang d'un patient au cours du temps $ t $ (en heures), à partir de l'instant de l'injection.

$ t_{i} $ (en h) $ 0 $ $ 1 $ $ 2 $ $ 3 $ $ 4 $ $ 6 $ $ 8 $
$ C_{i} $ (en mg/L) $ 80 $ $ 64 $ $ 51 $ $ 41 $ $ 33 $ $ 21 $ $ 13 $

Partie A — Ajustement affine

  1. À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite des moindres carrés $ C=a_{1}\,t+b_{1} $ (arrondir au centième), ainsi que le coefficient de corrélation linéaire $ r_{1} $ (arrondir au millième).
  2. La valeur de $ r_{1} $ semble proche de $ 1 $ en valeur absolue. Expliquer pourquoi cet ajustement reste cependant peu satisfaisant en regardant les écarts entre la prévision et les valeurs observées pour $ t=0 $ et $ t=8 $.

Partie B — Ajustement exponentiel

On pose $ z=\ln(C) $ et on étudie un ajustement de la forme $ C=A\,e^{kt} $.

  1. À l'aide de la calculatrice, on obtient pour la régression affine $ z=a_{2}\,t+b_{2} $ :
    $ a_{2}\approx -0{,}226 $ ; $ b_{2}\approx 4{,}388 $ ; $ r_{2}\approx -0{,}99996 $.
    Comparer $ |r_{1}| $ et $ |r_{2}| $. Quel ajustement est le plus pertinent ?
  2. En déduire les valeurs approchées de $ k $ et $ A $ (arrondir $ A $ au dixième), puis donner l'expression de $ C $ en fonction de $ t $.

Partie C — Exploitation du modèle

On utilise désormais le modèle $ C(t)=80{,}5\,e^{-0{,}226\,t} $.

  1. Estimer la concentration au bout de $ 5 $ heures. Préciser s'il s'agit d'une interpolation ou d'une extrapolation.
  2. Estimer la concentration au bout de $ 10 $ heures. Même question.
  3. À partir de quelle durée (au dixième d'heure) la concentration devient-elle inférieure à $ 5 $ mg/L ? Justifier par un calcul utilisant la fonction logarithme.

Corrigé

Partie A

  1. On saisit les sept couples $ (t_{i}\,;C_{i}) $ en mode statistique deux variables, puis on lance la régression linéaire. La calculatrice affiche :

    $\mathbf{C\approx -8{,}13\,t+71{,}16}$ avec $\mathbf{r_{1}\approx -0{,}969}$

  2. Vérifions les prévisions du modèle affine pour les valeurs extrêmes :

    • Pour $ t=0 $ : $ C\approx 71{,}16 $, alors que la valeur observée est $ 80 $. Écart : environ $ 9 $ mg/L (sous-estimation).
    • Pour $ t=8 $ : $ C\approx -8{,}13\times 8+71{,}16=-65{,}04+71{,}16=6{,}12 $, alors que la valeur observée est $ 13 $. Écart : environ $ 7 $ mg/L (sous-estimation).
    • Pour $ t=4 $ : $ C\approx -8{,}13\times 4+71{,}16=-32{,}52+71{,}16=38{,}64 $, alors que la valeur observée est $ 33 $. Écart : environ $ 6 $ mg/L (surestimation).

    Les écarts sont importants et changent de sens : le modèle affine surestime au milieu de la plage et sous-estime aux extrémités, ce qui montre que la décroissance des données n'est pas régulière. Un coefficient $ |r_{1}|\approx 0{,}97 $ ne suffit donc pas à valider l'ajustement.

Partie B

  1. On a $ |r_{2}|\approx 0{,}99996 $ et $ |r_{1}|\approx 0{,}969 $. Donc :

    $ |r_{2}|>|r_{1}| $

    L'ajustement affine de $ z=\ln(C) $ en fonction de $ t $ est bien meilleur que celui de $ C $ en fonction de $ t $ : le modèle exponentiel est donc plus pertinent.

  2. Par identification avec $ z=kt+\ln(A) $ : $ k\approx -0{,}226 $ et $ \ln(A)\approx 4{,}388 $, d'où :

    $ A\approx e^{4{,}388}\approx 80{,}5 $

    L'expression de $ C $ en fonction de $ t $ est donc :

    $\mathbf{C\approx 80{,}5\,e^{-0{,}226\,t}}$

Partie C

  1. Pour $ t=5 $ :

    $ C(5)\approx 80{,}5\times e^{-0{,}226\times 5}=80{,}5\times e^{-1{,}13}\approx 80{,}5\times 0{,}3230\approx 26{,}0 $

    La concentration estimée est d'environ $ 26{,}0 $ mg/L. Comme $ 5\in [0\,;8] $, il s'agit d'une interpolation, a priori fiable.

  2. Pour $ t=10 $ :

    $ C(10)\approx 80{,}5\times e^{-0{,}226\times 10}=80{,}5\times e^{-2{,}26}\approx 80{,}5\times 0{,}1042\approx 8{,}4 $

    La concentration estimée est d'environ $ 8{,}4 $ mg/L. Comme $ 10>8 $, il s'agit d'une extrapolation, à manier avec prudence : le modèle est extrapolé hors de la plage observée et les conditions physiologiques peuvent évoluer.

  3. On résout :

    $ 80{,}5\,e^{-0{,}226\,t}<5 $
    $ e^{-0{,}226\,t}<\dfrac{5}{80{,}5}\approx 0{,}06211 $

    La fonction $ \ln $ est strictement croissante sur $ ]0\,;+\infty[ $, donc :

    $ -0{,}226\,t<\ln(0{,}06211)\approx -2{,}778 $
    $ t>\dfrac{-2{,}778}{-0{,}226}\approx 12{,}3 $

    (L'inégalité change de sens car on divise par $ -0{,}226<0 $.)

    D'après le modèle, la concentration devient inférieure à $ 5 $ mg/L au bout d'environ $ 12{,}3 $ h, soit un peu plus de $ 12 $ heures après l'injection. Cette valeur résulte d'une extrapolation.

→ Pour réviser : Interpréter le coefficient de corrélation linéaire