Ajustement affine — budget publicitaire
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Le directeur d'une PME relève chaque mois, sur une période de six mois, le budget publicitaire $ x $ (en milliers d'euros) et le chiffre d'affaires $ y $ correspondant (en milliers d'euros).
| $ x_{i} $ (budget pub) | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ | $ 4 $ | $ 5 $ | $ 6 $ |
| $ y_{i} $ (chiffre d'affaires) | $ 12 $ | $ 15 $ | $ 19 $ | $ 22 $ | $ 26 $ | $ 30 $ |
- Calculer les coordonnées du point moyen $ G $ du nuage (arrondir $ \bar{y} $ au centième).
- À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite des moindres carrés $ \mathcal{D} $ d'équation $ y=ax+b $ (arrondir $ a $ et $ b $ au centième).
- Vérifier que $ \mathcal{D} $ passe (aux arrondis près) par le point moyen $ G $.
- Estimer le chiffre d'affaires que peut espérer la PME pour un budget publicitaire de $ 4{,}5 $ milliers d'euros.
Corrigé
La série comporte $ n=6 $ couples.
$ \bar{x}=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}=\dfrac{21}{6}=3{,}5 $$ \bar{y}=\dfrac{12+15+19+22+26+30}{6}=\dfrac{124}{6}\approx 20{,}67 $Le point moyen est $\mathbf{G(3{,}5\,;\,20{,}67)}$.
On saisit les valeurs en mode statistique deux variables ($ x $ dans $ L_{1} $, $ y $ dans $ L_{2} $) et on lance la régression linéaire. La calculatrice affiche $ a\approx 3{,}60 $ et $ b\approx 8{,}07 $. L'équation de la droite des moindres carrés est donc :
$\mathbf{y=3{,}60\,x+8{,}07}$On remplace $ x $ par $ \bar{x}=3{,}5 $ dans l'équation :
$ 3{,}60\times 3{,}5+8{,}07=12{,}60+8{,}07=20{,}67 $On retrouve bien $ \bar{y}\approx 20{,}67 $ : la droite $ \mathcal{D} $ passe par le point moyen $ G $.
Pour $ x=4{,}5 $ :
$ y=3{,}60\times 4{,}5+8{,}07=16{,}20+8{,}07=24{,}27 $Pour un budget publicitaire de $ 4{,}5 $ milliers d'euros, on peut espérer un chiffre d'affaires d'environ $ 24{,}27 $ milliers d'euros, soit environ $ 24\,270 $ €.
→ Pour réviser : Déterminer l'équation de la droite des moindres carrés