Statistique à deux variables
Exercices
Ajustement hyperbolique — vitesse et durée de trajet
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Un automobiliste relève, lors de plusieurs trajets effectués entre deux mêmes villes, la vitesse moyenne $ v $ (en km/h) et le temps de parcours $ t $ (en heures).
| $ v_{i} $ (en km/h) | $ 50 $ | $ 60 $ | $ 80 $ | $ 100 $ | $ 120 $ | $ 150 $ |
| $ t_{i} $ (en h) | $ 2{,}40 $ | $ 2{,}00 $ | $ 1{,}50 $ | $ 1{,}20 $ | $ 1{,}00 $ | $ 0{,}80 $ |
- La vitesse augmente, le temps diminue : pourquoi un modèle affine $ t=a\,v+b $ n'est-il pas adapté à cette situation physique ?
On pose $ X=\dfrac{1}{v} $. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant à $ 10^{-4} $ près.
$ v_{i} $ $ 50 $ $ 60 $ $ 80 $ $ 100 $ $ 120 $ $ 150 $ $ X_{i}=\dfrac{1}{v_{i}} $ $ t_{i} $ $ 2{,}40 $ $ 2{,}00 $ $ 1{,}50 $ $ 1{,}20 $ $ 1{,}00 $ $ 0{,}80 $ - À l'aide de la calculatrice, on trouve pour la régression affine $ t=aX+b $ : $ a\approx 120 $ et $ b\approx 0 $, avec $ r\approx 1 $. En déduire l'expression de $ t $ en fonction de $ v $.
- Interpréter physiquement la valeur de $ a $.
- Estimer le temps de parcours pour une vitesse moyenne de $ 90 $ km/h. Convertir le résultat en heures et minutes.
Corrigé
- Pour un trajet de longueur fixée $ L $, on a $ t=\dfrac{L}{v} $ : le temps est inversement proportionnel à la vitesse, et non affine. De plus, lorsque $ v $ devient grand, $ t $ tend vers $ 0 $ ; or une fonction affine non constante n'a pas de limite finie en $ +\infty $. Le modèle affine n'est donc pas adapté.
On calcule $ X_{i}=\dfrac{1}{v_{i}} $ :
$ \dfrac{1}{50}=0{,}0200\,;\ \dfrac{1}{60}\approx 0{,}0167\,;\ \dfrac{1}{80}=0{,}0125 $$ \dfrac{1}{100}=0{,}0100\,;\ \dfrac{1}{120}\approx 0{,}0083\,;\ \dfrac{1}{150}\approx 0{,}0067 $$ v_{i} $ $ 50 $ $ 60 $ $ 80 $ $ 100 $ $ 120 $ $ 150 $ $ X_{i} $ $ 0{,}0200 $ $ 0{,}0167 $ $ 0{,}0125 $ $ 0{,}0100 $ $ 0{,}0083 $ $ 0{,}0067 $ $ t_{i} $ $ 2{,}40 $ $ 2{,}00 $ $ 1{,}50 $ $ 1{,}20 $ $ 1{,}00 $ $ 0{,}80 $ La calculatrice donne $ t\approx 120\,X+0 $, avec $ r\approx 1 $ : l'ajustement de la nouvelle série est quasi parfait. En remplaçant $ X $ par $ \dfrac{1}{v} $ :
$\mathbf{t=\dfrac{120}{v}}$- La relation $ t=\dfrac{L}{v} $ avec $ L $ la longueur du trajet permet d'identifier $ L=120 $ km. Le coefficient $ a $ représente donc la longueur du trajet (en kilomètres) entre les deux villes.
Pour $ v=90 $ km/h :
$ t=\dfrac{120}{90}=\dfrac{4}{3}\approx 1{,}33\ \text{h} $Or $ \dfrac{1}{3} $ h $ = 20 $ min : le trajet dure environ $ 1 $ h $ 20 $ min.