Factoriser avec les identités remarquables
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Créer un compteLes trois identités remarquables (factorisation)
- $ a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2} $
- $ a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2} $
- $ a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b) $
Méthode
Pour factoriser avec une identité remarquable :
- Compter les termes : 2 termes ou 3 termes ?
- Si 2 termes (forme $ \ldots - \ldots $) : vérifier si chacun est un carré parfait. Si oui, c'est $ a^{2} - b^{2} $.
- Si 3 termes : vérifier si le premier et le dernier sont des carrés parfaits, et si le terme du milieu vaut $ 2ab $ (ou $ -2ab $).
- Identifier $ a $ et $ b $ puis appliquer la formule.
Différence de deux carrés
Factoriser $ A = 9x^{2} - 16 $.
Étape 1 : L'expression a 2 termes, c'est une différence.
Étape 2 : On vérifie que chaque terme est un carré parfait :
$ 9x^{2} = (3x)^{2} $ et $ 16 = 4^{2} $
Étape 3 : On applique $ a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b) $ avec $ a = 3x $ et $ b = 4 $ :
$ A = (3x + 4)(3x - 4) $
Carré parfait (3 termes)
Factoriser $ B = x^{2} + 10x + 25 $.
Étape 1 : L'expression a 3 termes.
Étape 2 : On vérifie les conditions :
$ x^{2} = x^{2} $ (carré parfait, $ a = x $)
$ 25 = 5^{2} $ (carré parfait, $ b = 5 $)
$ 10x = 2 \times x \times 5 $ (le double produit correspond)
Étape 3 : On applique $ a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2} $ :
$ B = (x + 5)^{2} $
Carré parfait avec soustraction
Factoriser $ C = 4x^{2} - 12x + 9 $.
Étape 1 : L'expression a 3 termes avec un terme du milieu négatif.
Étape 2 : On vérifie :
$ 4x^{2} = (2x)^{2} $ ($ a = 2x $)
$ 9 = 3^{2} $ ($ b = 3 $)
$ 12x = 2 \times 2x \times 3 $ (le double produit correspond)
Étape 3 : On applique $ a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2} $ :
$ C = (2x - 3)^{2} $
Remarque
La troisième identité $ a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b) $ est la plus facile à repérer : il suffit de reconnaître une différence de deux carrés.
Par exemple : $ x^{2} - 1 = (x+1)(x-1) $ car $ 1 = 1^{2} $.
Attention
On ne peut pas factoriser une somme de deux carrés avec les identités remarquables :
$ a^{2} + b^{2} $ ne se factorise pas (au programme de 3e).
Par exemple, $ x^{2} + 4 $ ne peut pas être factorisé.