Factorisation en plusieurs étapes

Durée estimée

15 minutes

Difficulté

Factoriser les expressions suivantes :

Corrigé

On reconnaît une différence de deux carrés : $ (x + 3)^{2} - 4^{2} $.
On utilise $ a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b) $ avec $ a = x + 3 $ et $ b = 4 $ :
$ A = (x + 3 + 4)(x + 3 - 4) $
$ A = (x + 7)(x - 1) $
On reconnaît une différence de deux carrés : $ (2x)^{2} - (x - 1)^{2} $.
On utilise $ a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b) $ avec $ a = 2x $ et $ b = x - 1 $ :
$ B = (2x + x - 1)(2x - x + 1) $
$ B = (3x - 1)(x + 1) $
Le facteur commun est $ (3x + 2) $.
On écrit $ (3x + 2)^{2} = (3x + 2)(3x + 2) $ :
$ C = (3x + 2)(3x + 2) - (3x + 2)(x - 5) $
$ C = (3x + 2)\left[(3x + 2) - (x - 5)\right] $
$ C = (3x + 2)(3x + 2 - x + 5) $
$ C = (3x + 2)(2x + 7) $
On commence par reconnaître une identité remarquable dans les trois premiers termes :
$ 9x^{2} + 12x + 4 = (3x)^{2} + 2 \times 3x \times 2 + 2^{2} = (3x + 2)^{2} $

L'expression devient :
$ D = (3x + 2)^{2} - (3x + 2)(x - 1) $

Le facteur commun est $ (3x + 2) $ :
$ D = (3x + 2)\left[(3x + 2) - (x - 1)\right] $
$ D = (3x + 2)(3x + 2 - x + 1) $
$ D = (3x + 2)(2x + 3) $