Déterminer les primitives d’une fonction
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- Étape 1 : Identifier la forme de $ f(x) $ : est-ce une fonction usuelle (puissance, exponentielle, trigonométrique) ou une fonction composée (de la forme $ u'g(u) $) ?
- Étape 2 : Repérer dans le tableau des primitives la ligne correspondante et écrire la primitive $ F $.
- Étape 3 : Pour une fonction composée, vérifier que le facteur $ u' $ est bien présent. Si un coefficient manque, ajuster par multiplication.
- Étape 4 : Ne pas oublier la constante $ +k $ (avec $ k \in \mathbb{R} $).
Primitives de fonctions usuelles
Déterminer les primitives de $ f(x) = 3x^2 - 4x + 5 $ sur $ \mathbb{R} $.
Étape 1 : On identifie trois termes : $ 3x^2 $, $ -4x $ et $ 5 $, qui sont des fonctions puissances et une constante.
Étape 2 : On applique la linéarité et le tableau des primitives :
une primitive de $ x^2 $ est $ \dfrac{x^3}{3} $, une primitive de $ x $ est $ \dfrac{x^2}{2} $, une primitive de $ 5 $ est $ 5x $.
Étape 3 : Les primitives de $ f $ sont les fonctions :
où $ k \in \mathbb{R} $.
Primitive passant par un point donné
Déterminer la primitive $ F $ de $ f(x) = 6x^2 + 2 $ sur $ \mathbb{R} $ telle que $ F(1) = 5 $.
Étape 1 : On détermine les primitives de $ f $ :
$ F(x) = 6 \times \dfrac{x^3}{3} + 2x + k = 2x^3 + 2x + k $
Étape 2 : On utilise la condition $ F(1) = 5 $ :
$ F(1) = 2 \times 1^3 + 2 \times 1 + k = 4 + k = 5 $
donc $ k = 1 $.
Étape 3 : La primitive cherchée est :
Primitive d'une fonction composée
Déterminer les primitives de $ f(x) = \dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2} $ sur $ \mathbb{R} $.
Étape 1 : On pose $ u(x) = x^2 + 1 $, donc $ u'(x) = 2x $.
Étape 2 : On reconnaît la forme $ \dfrac{u'}{u^2} $ avec $ n = 2 $. D'après le tableau, une primitive de $ \dfrac{u'}{u^n} $ est $ -\dfrac{1}{(n-1)u^{n-1}} $.
Étape 3 : Les primitives de $ f $ sont :
où $ k \in \mathbb{R} $.
Remarque
Quelques formes composées fréquentes à reconnaître :
- $ \dfrac{u'}{u} $ dont une primitive est $ \ln|u| $ (si $ u > 0 $)
- $ u' e^u $ dont une primitive est $ e^u $
- $ u' \cos u $ dont une primitive est $ \sin u $
Attention
- Ne pas confondre $ \dfrac{1}{x^2} $ et $ \dfrac{1}{x} $ : les primitives sont très différentes ($ -\dfrac{1}{x} $ et $ \ln x $).
- Pour les fonctions composées, toujours vérifier que le coefficient de $ u' $ est correct avant d'écrire la primitive.