Vrai/Faux : Propriétés des intégrales

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} t\sin t\;\mathrm{d}t$.

Affirmation : La fonction $g$ est une primitive de la fonction $x \longmapsto x\sin x$ sur $\mathbb{R}$.

Soit le réel $I = \displaystyle\int_{0}^{\pi} t^4 \sin t\;\mathrm{d}t$.

Affirmation : $I$ est positif ou nul.

Soient les réels $I = \displaystyle\int_{0}^{1} x\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x$ et $J = \displaystyle\int_{0}^{1} x^2\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x$.

Affirmation : $I \leqslant J$.

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \displaystyle\int_{0}^{1} x^n\,\mathrm{d}x$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est croissante.

Soit $\mathscr{A}$ l'aire (en unité d'aire) du domaine délimité par la courbe de la fonction carré, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.

Affirmation : $\mathscr{A} = \dfrac{1}{3}$.

Soit $A = \displaystyle\int_{-1}^{0} t^2\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t$.

Affirmation : $A \geqslant 0$.