Déterminer l’équation réduite d’une droite
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Créer un compteMéthode : à partir de deux points
Soient $A\left(x_A ; y_A\right)$ et $B\left(x_B ; y_B\right)$ deux points d'une droite $d$ avec $x_A \neq x_B$.
Étape 1 : Calculer le coefficient directeur $m$ :
$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$Étape 2 : Écrire que la droite passe par l'un des deux points. Par exemple, les coordonnées de $A$ vérifient $y_A = m x_A + p$, donc :
$p = y_A - m x_A$- Étape 3 : Conclure en écrivant l'équation réduite $y = mx + p$.
À partir de deux points
Déterminer l'équation réduite de la droite $d$ passant par $A\left(2 ; 5\right)$ et $B\left(6 ; 1\right)$.
Étape 1 : On calcule le coefficient directeur :
$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{1 - 5}{6 - 2} = \dfrac{-4}{4} = -1$
Étape 2 : La droite passe par $A\left(2 ; 5\right)$, donc :
$5 = -1 \times 2 + p$
$5 = -2 + p$
$p = 7$
Étape 3 : L'équation réduite de $d$ est :
Avec un coefficient directeur négatif fractionnaire
Déterminer l'équation réduite de la droite $d$ passant par $A\left(-3 ; 4\right)$ et $B\left(1 ; -2\right)$.
Étape 1 : On calcule le coefficient directeur :
$m = \dfrac{-2 - 4}{1 - (-3)} = \dfrac{-6}{4} = -\dfrac{3}{2}$
Étape 2 : La droite passe par $B\left(1 ; -2\right)$, donc :
$-2 = -\dfrac{3}{2} \times 1 + p$
$-2 = -\dfrac{3}{2} + p$
$p = -2 + \dfrac{3}{2} = -\dfrac{1}{2}$
Étape 3 : L'équation réduite de $d$ est :
Méthode : à partir d'un point et du coefficient directeur
Soit $A\left(x_A ; y_A\right)$ un point d'une droite $d$ de coefficient directeur $m$ connu.
- Étape 1 : L'équation de $d$ est de la forme $y = mx + p$.
Étape 2 : Remplacer $x$ et $y$ par les coordonnées de $A$ pour calculer $p$ :
$p = y_A - m x_A$- Étape 3 : Conclure en écrivant l'équation réduite $y = mx + p$.
À partir d'un point et du coefficient directeur
Déterminer l'équation réduite de la droite $d$ de coefficient directeur $m = 3$ passant par $C\left(2 ; -1\right)$.
Étape 1 : L'équation de $d$ est de la forme $y = 3x + p$.
Étape 2 : La droite passe par $C\left(2 ; -1\right)$, donc :
$-1 = 3 \times 2 + p$
$-1 = 6 + p$
$p = -7$
Étape 3 : L'équation réduite de $d$ est :
Remarque
- Si les deux points ont la même abscisse ($x_A = x_B$), la droite est parallèle à l'axe des ordonnées. Son équation est $x = x_A$ (ce n'est pas une équation réduite).
- Le choix du point ($A$ ou $B$) pour calculer $p$ n'a aucune importance : on obtient le même résultat.
Attention
Ne pas inverser la formule du coefficient directeur : c'est bien $\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ (les $y$ au numérateur, les $x$ au dénominateur) et non l'inverse.