Équation réduite à partir de deux points
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Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~;~\vec{i},~\vec{j}) $. On considère les points $ A(1~;~-1) $ et $ B(4~;~5) $.
- Calculer le coefficient directeur de la droite $ (AB) $.
- En déduire l'équation réduite de la droite $ (AB) $.
- Le point $ C(7~;~11) $ appartient-il à la droite $ (AB) $ ? Justifier.
- Le point $ D(0~;~-4) $ appartient-il à la droite $ (AB) $ ? Justifier.
Corrigé
Le coefficient directeur de la droite $ (AB) $ est :
$ m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{5 - (-1)}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} $
Le coefficient directeur vaut $\mathbf{m = 2}$.
L'équation réduite de $ (AB) $ est de la forme $ y = 2x + p $.
Le point $ A(1~;~-1) $ appartient à la droite $ (AB) $, donc ses coordonnées vérifient l'équation :
$ -1 = 2 \times 1 + p $
$ -1 = 2 + p $
$ p = -3 $L'équation réduite de la droite $ (AB) $ est $\mathbf{y = 2x - 3}$.
On vérifie si les coordonnées de $ C(7~;~11) $ satisfont l'équation $ y = 2x - 3 $ :
$ 2 \times 7 - 3 = 14 - 3 = 11 $On obtient bien $ y_C = 11 $, donc le point $ C $ appartient à la droite $ (AB) $.
On vérifie si les coordonnées de $ D(0~;~-4) $ satisfont l'équation $ y = 2x - 3 $ :
$ 2 \times 0 - 3 = -3 $On obtient $ -3 \neq -4 $, donc le point $ D $ n'appartient pas à la droite $ (AB) $.
Pour réviser : Déterminer l'équation réduite d'une droite