Équation cartésienne et vecteur directeur
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Exercices
Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~;~\vec{i},~\vec{j}) $. On considère les points $ A(-1~;~2) $ et $ B(3~;~-2) $.
- Calculer les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB} $.
- Déterminer une équation cartésienne de la droite $ (AB) $ en utilisant la colinéarité des vecteurs $ \overrightarrow{AM} $ et $ \overrightarrow{AB} $.
- En déduire l'équation réduite de la droite $ (AB) $.
- Le point $ C(5~;~-4) $ appartient-il à la droite $ (AB) $ ? Justifier.
- Donner un vecteur directeur de la droite $ (AB) $ à partir de son équation cartésienne. Vérifier qu'il est colinéaire à $ \overrightarrow{AB} $.
Corrigé
Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB} $ sont :
$ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - (-1) \\ -2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \end{pmatrix} $Le vecteur $ \overrightarrow{AB} $ a pour coordonnées $\mathbf{(4~;~-4)}$.
Soit $ M(x~;~y) $ un point quelconque du plan. Le point $ M $ appartient à la droite $ (AB) $ si et seulement si les vecteurs $ \overrightarrow{AM} $ et $ \overrightarrow{AB} $ sont colinéaires.
Les coordonnées de $ \overrightarrow{AM} $ sont :
$ \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x - (-1) \\ y - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 1 \\ y - 2 \end{pmatrix} $La condition de colinéarité s'écrit : $ \det(\overrightarrow{AM},~\overrightarrow{AB}) = 0 $, soit :
$ (x + 1) \times (-4) - (y - 2) \times 4 = 0 $
$ -4x - 4 - 4y + 8 = 0 $
$ -4x - 4y + 4 = 0 $En divisant par $ -4 $ :
Une équation cartésienne de la droite $ (AB) $ est $\mathbf{x + y - 1 = 0}$.
On isole $ y $ dans l'équation cartésienne :
$ x + y - 1 = 0 $
$ y = -x + 1 $L'équation réduite de la droite $ (AB) $ est $\mathbf{y = -x + 1}$.
Le coefficient directeur est $ m = -1 $ et l'ordonnée à l'origine est $ p = 1 $.On vérifie si les coordonnées de $ C(5~;~-4) $ satisfont l'équation $ x + y - 1 = 0 $ :
$ 5 + (-4) - 1 = 0 $L'égalité est vérifiée, donc le point $ C $ appartient à la droite $ (AB) $.
L'équation cartésienne est de la forme $ ax + by + c = 0 $ avec $ a = 1 $ et $ b = 1 $. Un vecteur directeur de la droite est $ \vec{u}(-b~;~a) = \vec{u}(-1~;~1) $.
Vérifions que $ \vec{u}(-1~;~1) $ est colinéaire à $ \overrightarrow{AB}(4~;~-4) $ :
$ \det(\vec{u},~\overrightarrow{AB}) = (-1) \times (-4) - 1 \times 4 = 4 - 4 = 0 $Le déterminant est nul, donc $ \vec{u} $ et $ \overrightarrow{AB} $ sont bien colinéaires. On peut d'ailleurs vérifier que $ \overrightarrow{AB} = -4\vec{u} $.
Pour réviser : Déterminer une équation cartésienne d'une droite