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Seconde

moyenExercice corrigé

Choix d'un repère - Droites parallèles

ABCD est un carré. M est le milieu de \left[AB\right] et N le milieu de \left[DC\right].
On cherche à montrer que les droites \left(DM\right) et \left(BN\right) sont parallèles.

Pour cela, on se place dans le repère orthonormé \left(A ; B , D\right).

  1. Quelles sont les coordonnées de A, B, C, D, M, N dans ce repère.
  2. Donner l'équation réduite de la droite \left(BN\right)
  3. Donner l'équation réduite de la droite \left(DM\right)
  4. Conclure.

Corrigé

  1.  
    Compte tenu du choix du repère, les points A, B, C, D ont comme coordonnées :
    A\left(0 ; 0\right) ; B\left(1 ; 0\right) ; C\left(1; 1\right) ; D\left(0 ; 1\right)
    M est le milieu de \left[AB\right] donc :
    x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{1}{2}
    y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=0
    N est le milieu de \left[CD\right] donc :
    x_{N}=\frac{x_{C}+x_{D}}{2}=\frac{1}{2}
    y_{N}=\frac{y_{C}+y_{D}}{2}=1
    Les coordonnées de M et N sont donc :
    M\left(\frac{1}{2} ; 0\right) ; N\left(\frac{1}{2} ; 1\right)
  2. Le coefficient directeur de la droite \left(BN\right) est :
    m=\frac{y_{N}-y_{B}}{x_{N}-x_{B}} = \frac{1}{-0,5}=-2
    L'équation de \left(BN\right) est donc de la forme y=-2x+p
    Comme B \in \left(BN\right) :
    0=-2\times 1+p soit p=2.
    L'équation de la droite \left(BN\right) est donc y=-2x+2
  3. Le coefficient directeur de la droite \left(DM\right) est :
    m=\frac{y_{M}-y_{D}}{x_{M}-x_{D}} = \frac{-1}{0,5}=-2
    Comme la droite \left(DM\right) passe par le point D\left(0;1\right), son ordonnée à l'origine est 1.
    L'équation de la droite \left(DM\right) est donc y=-2x+1
  4. Les droites \left(BN\right) et \left(DM\right) ont le même coefficient directeur donc elles sont parallèles.
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