ABCD est un carré. M est le milieu de \left[AB\right] et N le milieu de \left[DC\right].
On cherche à montrer que les droites \left(DM\right) et \left(BN\right) sont parallèles.
Pour cela, on se place dans le repère orthonormé \left(A ; B , D\right).
- Quelles sont les coordonnées de A, B, C, D, M, N dans ce repère.
- Donner l'équation réduite de la droite \left(BN\right)
- Donner l'équation réduite de la droite \left(DM\right)
- Conclure.
Corrigé
-
Compte tenu du choix du repère, les points A, B, C, D ont comme coordonnées :
A\left(0 ; 0\right) ; B\left(1 ; 0\right) ; C\left(1; 1\right) ; D\left(0 ; 1\right)
M est le milieu de \left[AB\right] donc :
x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{1}{2}
y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=0
N est le milieu de \left[CD\right] donc :
x_{N}=\frac{x_{C}+x_{D}}{2}=\frac{1}{2}
y_{N}=\frac{y_{C}+y_{D}}{2}=1
Les coordonnées de M et N sont donc :
M\left(\frac{1}{2} ; 0\right) ; N\left(\frac{1}{2} ; 1\right) - Le coefficient directeur de la droite \left(BN\right) est :
m=\frac{y_{N}-y_{B}}{x_{N}-x_{B}} = \frac{1}{-0,5}=-2
L'équation de \left(BN\right) est donc de la forme y=-2x+p
Comme B \in \left(BN\right) :
0=-2\times 1+p soit p=2.
L'équation de la droite \left(BN\right) est donc y=-2x+2 - Le coefficient directeur de la droite \left(DM\right) est :
m=\frac{y_{M}-y_{D}}{x_{M}-x_{D}} = \frac{-1}{0,5}=-2
Comme la droite \left(DM\right) passe par le point D\left(0;1\right), son ordonnée à l'origine est 1.
L'équation de la droite \left(DM\right) est donc y=-2x+1 - Les droites \left(BN\right) et \left(DM\right) ont le même coefficient directeur donc elles sont parallèles.