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Équations de droites Exercices

Équation de droite et alignement de trois points

Durée estimée
15 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~;~\vec{i},~\vec{j}) $. On considère les points $ A(-3~;~1) $, $ B(3~;~5) $, $ C(12~;~11) $ et $ D(6~;~8) $.

  1. Déterminer l'équation réduite de la droite $ (AB) $.
  2. Le point $ C $ appartient-il à la droite $ (AB) $ ? En déduire que les points $ A $, $ B $ et $ C $ sont alignés.
  3. Vérifier ce résultat à l'aide du déterminant des vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $.
  4. Le point $ D $ est-il aligné avec $ A $ et $ B $ ? Justifier.
  5. Déterminer une équation cartésienne de la droite $ (AB) $.

Corrigé

  1. Le coefficient directeur de la droite $ (AB) $ est :
    $ m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{5 - 1}{3 - (-3)} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} $

    L'équation réduite est de la forme $ y = \dfrac{2}{3}x + p $.
    Le point $ A(-3~;~1) $ appartient à $ (AB) $ :
    $ 1 = \dfrac{2}{3} \times (-3) + p = -2 + p $
    $ p = 3 $

    L'équation réduite de la droite $ (AB) $ est $\mathbf{y = \dfrac{2}{3}x + 3}$.

  2. On vérifie si les coordonnées de $ C(12~;~11) $ satisfont l'équation :
    $ \dfrac{2}{3} \times 12 + 3 = 8 + 3 = 11 $

    On obtient bien $ y_C = 11 $, donc $ C $ appartient à la droite $ (AB) $.

    Puisque $ A $, $ B $ et $ C $ appartiennent tous les trois à la même droite, les points $ A $, $ B $ et $ C $ sont alignés.

  3. Calculons les coordonnées des vecteurs :
    $ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 - (-3) \\ 5 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} $

    $ \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 12 - (-3) \\ 11 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 10 \end{pmatrix} $

    Le déterminant vaut :
    $ \det(\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AC}) = 6 \times 10 - 4 \times 15 = 60 - 60 = 0 $

    Le déterminant est nul, donc $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $ sont colinéaires. Cela confirme que les points $ A $, $ B $ et $ C $ sont alignés.

  4. On vérifie si les coordonnées de $ D(6~;~8) $ satisfont l'équation $ y = \dfrac{2}{3}x + 3 $ :
    $ \dfrac{2}{3} \times 6 + 3 = 4 + 3 = 7 $

    On obtient $ 7 \neq 8 $, donc $ D $ n'appartient pas à la droite $ (AB) $. Le point $ D $ n'est pas aligné avec $ A $ et $ B $.

    Repère orthonormé avec la droite (AB), les points A, B, C alignés et le point D hors de la droite

  5. On utilise la condition de colinéarité : $ \det(\overrightarrow{AM},~\overrightarrow{AB}) = 0 $ avec $ M(x~;~y) $.
    $ \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x + 3 \\ y - 1 \end{pmatrix} $ et $ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} $

    $ (x + 3) \times 4 - (y - 1) \times 6 = 0 $
    $ 4x + 12 - 6y + 6 = 0 $
    $ 4x - 6y + 18 = 0 $

    En divisant par $ 2 $ :

    Une équation cartésienne de la droite $ (AB) $ est $\mathbf{2x - 3y + 9 = 0}$.

Pour réviser : Déterminer une équation cartésienne d'une droite