Intersection de droites et système d’équations
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Un élève hésite entre deux plateformes de cours particuliers en ligne :
- Plateforme A : $ 15 $ euros par heure, sans abonnement.
- Plateforme B : un abonnement mensuel de $ 40 $ euros, puis $ 10 $ euros par heure.
On note $ x $ le nombre d'heures de cours dans le mois.
- Exprimer le coût mensuel $ f(x) $ avec la plateforme A et le coût mensuel $ g(x) $ avec la plateforme B en fonction de $ x $.
- Calculer le coût pour $ 5 $ heures de cours avec chaque plateforme. Laquelle est la plus avantageuse dans ce cas ?
- Résoudre l'équation $ f(x) = g(x) $. Interpréter le résultat.
- Pour quel nombre d'heures la plateforme B devient-elle plus avantageuse que la plateforme A ? Justifier.
- Représenter graphiquement les droites $ (d_1) $ d'équation $ y = f(x) $ et $ (d_2) $ d'équation $ y = g(x) $ dans un repère orthogonal. Vérifier graphiquement les résultats précédents.
Corrigé
Avec la plateforme A, le coût est proportionnel au nombre d'heures :
$\mathbf{f(x) = 15x}$Avec la plateforme B, le coût comprend l'abonnement fixe de $ 40 $ euros plus le tarif horaire :
$\mathbf{g(x) = 10x + 40}$Pour $ 5 $ heures de cours :
$ f(5) = 15 \times 5 = 75 $ euros
$ g(5) = 10 \times 5 + 40 = 50 + 40 = 90 $ eurosPour $ 5 $ heures, la plateforme A est plus avantageuse ($ 75 $ euros contre $ 90 $ euros).
On résout $ f(x) = g(x) $ :
$ 15x = 10x + 40 $
$ 15x - 10x = 40 $
$ 5x = 40 $
$ x = 8 $Pour $ x = 8 $ heures, les deux plateformes coûtent le même prix :
$ f(8) = 15 \times 8 = 120 $ euros et $ g(8) = 10 \times 8 + 40 = 120 $ euros.Les deux tarifs sont égaux pour $ 8 $ heures de cours, soit un coût de $ 120 $ euros.
La plateforme B est plus avantageuse lorsque $ g(x) < f(x) $, c'est-à-dire :
$ 10x + 40 < 15x $
$ 40 < 5x $
$ x > 8 $La plateforme B devient plus avantageuse à partir de $ 9 $ heures de cours par mois.
- Les fonctions $ f $ et $ g $ sont des fonctions affines. Leurs représentations graphiques sont des droites.
- $ (d_1) $ : $ y = 15x $ passe par l'origine avec un coefficient directeur de $ 15 $.
$ (d_2) $ : $ y = 10x + 40 $ a un coefficient directeur de $ 10 $ et une ordonnée à l'origine de $ 40 $.
Les deux droites se coupent au point $ (8~;~120) $.
On retrouve bien graphiquement que les droites se coupent au point $ (8~;~120) $. Pour $ x < 8 $, la droite $ (d_1) $ est en dessous de $ (d_2) $ : la plateforme A est moins chère. Pour $ x > 8 $, c'est la droite $ (d_2) $ qui est en dessous : la plateforme B est plus avantageuse.